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Suites adjacentes bis

Posté par
kerberos31 23-10-20 à 23:27

Bonjour (une nouvelle fois !), j'ai un problème qui maintenant concerne une autre exercice dont voici l'énoncé :

Soient deux suites (u_{n}) et (v_{n}) définies par :

u_{0} = 0,  v_{0} = 2,  et pour tout n ? ?, u_{n+1} = \frac{3u_{n}+1}{4} et v_{n+1} = \frac{3v_{n}+1}{4}
a) Montrer que les suites (u_{n}) et (v_{n}) sont adjacentes.
b) Déterminer leur limite commune.

J'ai pu montrer que (u_{n}) est croissante et que (v_{n}) est décroissante mais je bloque pour montrer que \lim_{n\rightarrow \+\infty} (u_{n}) - (v_{n}) = 0. Car pour cela il me faudrait les formes explicites de (u_{n}) et (v_{n}), enfin il me semble.

Comment est-ce que je pourrais faire ? Merci si vous prenez le temps de m'aider.

*** message déplacé ***

Posté par
Sylvieg ModerateurSuites adjacentes 24-10-20 à 08:29

J'ai ouvert un nouveau sujet pour cet autre exercice.

*** message déplacé ***

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites adjacentes bis 24-10-20 à 08:36

Tu peux relire la règle 6 dans Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci

Pour ta question :
Tu peux connaître l'expression de \; un-vn \; sans connaître celles de \; un \; et \; vn .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites adjacentes bis 24-10-20 à 08:39

D'ailleurs, s'intéresser à la différence \; vn-un \; me semble plus pertinent.

Posté par
kerberos31re : Suites adjacentes bis 24-10-20 à 15:46

Bonjour, mea culpa en effet ! Je le saurai, merci pour l'aide !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites adjacentes bis 24-10-20 à 17:35

De rien
Tu as réussi à terminer ?

Posté par
kerberos31re : Suites adjacentes bis 24-10-20 à 20:50

Bonsoir, non malheureusement je n'arrive toujours pas à montrer que \lim_{n\rightarrow +\infty } v_{n} - u_{u} = 0
J'ai conjecturé que u_{n}\leq u_{n+1} \leq v_{n+1} \leq v_{n} mais je ne sais pas comment le justifier,  ni même comment je peux partir de là pour déterminer la limite de la différence des deux termes.

Et je ne sais vraiment pas quoi faire avec la différence v_{n} - u_{n}, je n'ai aucune idée de comment montrer que la limite vaut 0. Cela m'échappe totalement...

Merci !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites adjacentes bis 24-10-20 à 21:13

Tu n'as pas trouvé l'expression de vn-un ?

Pose wn = vn-un et calcule quelques termes w0, w1, w2, ...
Aide toi d'une calculatrice s'il le faut.

Posté par
kerberos31re : Suites adjacentes bis 24-10-20 à 21:46

Mon expression de vn-un dépend de vn+1 et de un+1

J'ai trouvé : v_{n} - u_{n} = \frac{4(v_{n+1}-u_{n+1})}{3}

J'ai calculé quelques termes de la suite wn = vn-un. Elle semble tendre vers 0, mais comment je peux m'y prendre pour le prouver ? Comment je peux déterminer une limite si je n'ai pas vn et un qui dépendent de n ? C'est ça mon problème.

Merci !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites adjacentes bis 24-10-20 à 22:43

v_{n} - u_{n} = \frac{4(v_{n+1}-u_{n+1})}{3} est exact.
Mais c'est plus intéressant d'écrire vn+1-un+1 = ...
avec du vn et du un.

Avant de chercher à démontrer que vn - un tend vers 0, cherche l'expression de vn - un.

Citation :
Pose wn = vn-un et calcule quelques termes w0, w1, w2, ...
Tu ne me dis pas ce que tu as trouvé.
La suite (wn) est une suite usuelle.
Commence par le conjecturer puis démontre le.

Posté par
kerberos31re : Suites adjacentes bis 24-10-20 à 23:17

J'ai trouvé que vn+1 - un+1 = \large \frac{3(v_{n}-u_{n})}{4}

Sylvieg @ 24-10-2020 à 22:43

Avant de chercher à démontrer que vn - un tend vers 0, cherche l'expression de vn - un.


Je ne comprends pas bien, ce n'est pas ce que j'ai fait précédemment ?

Enfin, j'ai trouvé :

w0 = 2

w1 = \frac{3}{2}

w2 = \frac{9}{8}

w3 = \frac{27}{32}

w4 = \frac{81}{128}

Et je me suis effectivement rendu compte que cela tendait vers 0.
J'aimerais bien le démontrer, mais il me faudrait exprimer vn - un en fonction de n, ou je me trompe ? Si c'est le cas, alors je ne sais pas comment faire...

Merci !

Posté par
kerberos31re : Suites adjacentes bis 24-10-20 à 23:20

kerberos31 @ 24-10-2020 à 23:17

J'aimerais bien le démontrer, mais il me faudrait exprimer vn - un en fonction de n, ou je me trompe ? Si c'est le cas, alors je ne sais pas comment faire...


Après relecture, c'est confus. Je sous-entendais que si exprimer vn - un en fonction de n est ce qu'il faut faire, alors je ne sais pas comment le faire.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites adjacentes bis 25-10-20 à 06:55

Oui, c'est ce qu'il faut faire.
Tu ne vois pas une formule à conjecturer pour wn ?
Tu es en présence d'une suite usuelle (c'est à dire arithmétique ou géométrique).
Et c'est facile à démontrer.

Citation :
J'ai trouvé : v_{n} - u_{n} = \frac{4(v_{n+1}-u_{n+1})}{3}
Comment as-tu fait pour trouver ceci ?

Posté par
kerberos31re : Suites adjacentes bis 25-10-20 à 15:32

Non je ne vois vraiment pas...

Sylvieg @ 25-10-2020 à 06:55


Citation :
J'ai trouvé : v_{n} - u_{n} = \frac{4(v_{n+1}-u_{n+1})}{3}
Comment as-tu fait pour trouver ceci ?


J'ai exprimé respectivement vn et un :

v_{n} = \frac{4(v_{n+1}-1)}{3}

u_{n} = \frac{4(u_{n+1}-1)}{3}

J'ai fait la différence vn - un :

v_{n} = \frac{4(v_{n+1}-1)-4(u_{n+1}-1)}{3}

En développant :

v_{n} = \frac{4v_{n+1}-4-4u_{n+1}+4}{3}

En simplifiant -4+4 et en factorisant par 4 j'obtiens enfin :

v_{n} = \frac{4(v_{n+1}-u_{n+1})}{3}

Maintenant, j'avoue ne pas du tout voir ce que je dois faire pour exprimer vn - un en fonction de n...

Posté par
kerberos31re : Suites adjacentes bis 25-10-20 à 15:35

Erreur : lire vn - un au lieu de vn juste au dessus...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites adjacentes bis 25-10-20 à 16:54

D'accord.
Tu peux en déduire vn+1 - un+1 = .... (une expression avec vn - un)

Posté par
kerberos31re : Suites adjacentes bis 25-10-20 à 17:23

J'en déduis que :

vn+1 - un+1 = \large \frac{3(v_{n}-u_{n})}{4}

Mais je vois pas quoi en faire de cette expression... Ou alors faut-il que je remplace vn - un par wn, et dire que 3/4 < 0 donc le tout tend vers 0 , en supposant que wn tende aussi vers 0 (d'après ce que j'ai conjecturé) ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites adjacentes bis 25-10-20 à 17:27

Avec w au lieu de v-u, ça donne wn+1 = 3wn/4
Ne vois-tu pas que 3wn/4 = (3/4)wn ?

Posté par
kerberos31re : Suites adjacentes bis 25-10-20 à 17:45

Je le vois, et maintenant pour prouver que cette suite tend vers 0 il me faut démontrer qu'elle est décroissante et qu'elle est minorée par 0 ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites adjacentes bis 25-10-20 à 17:49

Non, il faut voir que c'est une suite usuelle pour laquelle tu as des formules.
wn+1 = qwn ne t'évoque rien ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites adjacentes bis 25-10-20 à 17:49

Des formules et des propriétés.

Posté par
kerberos31re : Suites adjacentes bis 25-10-20 à 17:58

Mais bien sûr, je ne l'avais pas vu...
Là c'est beaucoup plus clair en effet, je suis passé à côté de ça pendant tout ce temps...
Merci beaucoup, c'était formateur !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites adjacentes bis 25-10-20 à 18:17

Et tu pouvais le trouver directement :
u_{n+1} = \frac{3u_{n}+1}{4} et v_{n+1} = \frac{3v_{n}+1}{4}
Donc vn+1 - un+1 = ....


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