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Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch

Posté par
raf88
29-01-21 à 22:12

Bonsoir,

J'ai un DM de Math que je n'arrive pas a finir. Serait-il possible de m'aider s'il vous plait ? :

Voici le DM :

On s'intéresse ici aux flocons de Von Koch, mathématicien suédois né en 1870 et décédé en 1934.
Considérons un triangle équilatéral dont la longueur du côté est 1.
On partage chaque côté en trois segment central, on construit alors un triangle équilatéral vers l'extérieur. On obtient alors un nouveau polygone. On se demande ce que devient la figure si on répète le processus indéfiniment.

Comme souvent, un petit dessin vaut mieux qu'un long discours. Voici donc les polygones F0,  F1, F2, F3, F4 et F5.

On  note xn le nombre de côtés du polygone Fn.
On note ln la longueur d'un côté du polygone Fn.
On note pn le périmètre du polygone Fn.


1. Donner x1 et l1 puis calculer p1.

-> Ma réponse : Je sais que le nombre de côté du polygone F0 est 3, F1 est 12, F2 est 48 puis F3 et F4 192. Mais je ne sais pas comment donner x1 et l1 puis calculer p1 aussi.


2.a) Exprimer xn+1  en fonction de xn. En déduire l'expression explicite de x n.

Je ne sais pas

b) Exprimer ln+1 en fonction de ln. En déduire l'expression explicite de ln.
Je ne sais pas


c) Déduire des deux questions précédentes que pn = 3*(4/3)n.
Je ne sais pas

3. On veut déterminer le premier flocon dont le périmètre sera supérieur à 30. Pour cela, on considère l'algorithme ci-contre.

L1 : P <- 3
L2 : N <- 0
L3 : Tant que .............. faire :
L5 :           N <- N + 1
L6 :           P  <- 3*(4/3)n
L7 : Fin Tant que
L8 : Afficher N


a) Compléter la ligne L3.      

-> Ma réponse : while p < 30 :

b) A l'aide de la calculatrice ou de Python, déterminer la valeur recherchée.
Je ne sais pas        

Je vous remercie pour votre aide.                    

Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch

Posté par
Yzz
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 30-01-21 à 06:23

Salut,

Tu dis ne pas savoir "comment donner x1" , et tu le donnes à la ligne précédente.
Pour l1 : tu sais que les côtés de F0 sont égaux à 1, et qu'on les partage en trois parties de même longueur...

Posté par
raf88
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 30-01-21 à 12:14

Bonjour,

Merci pour votre réponse, d'après ce que j'ai compris j'ai trouvé :

On sait que x0 = 3 donc x1 = 4
et l0 = 1 donc l1 = 1/3
.

Posté par
Yzz
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 30-01-21 à 12:51

Citation :
On sait que x
Citation :
0
= 3 donc x1 = 4
Sérieux ?
Citation :
On  note xn le nombre de côtés du polygone Fn.

Posté par
Yzz
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 30-01-21 à 12:51

Oups.

Citation :
On sait que x0 = 3 donc x1 = 4
Sérieux ?
Citation :
On  note xn le nombre de côtés du polygone Fn.

Posté par
raf88
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 30-01-21 à 14:20

Le nombre de côté est 3 donc xo = 3 non ?

Posté par
Yzz
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 30-01-21 à 15:01

Oui, mais pour F1 ?

Posté par
raf88
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 30-01-21 à 15:07

Pour F1 12, donc x1 = 12 ?

Posté par
raf88
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 30-01-21 à 18:55

Voici la suite de ce que j'ai fait :

2- a) On a xn+1 = 4 xn
La suite (xn ) est géométrique de raison q=4 et donc pour tout entier n, on a :
xn = x0 * qn soit xn = 3*4n

b) On a : ln = 1/3 ln
La suite (ln) est géométrique de raison q'=1/3 et donc pour tout entier n, on a :
ln = l0*q'n soit ln = 1/3n.


c) Pn = xn*ln donc Pn = 3*4n*1/3n = 3*(4/3)n

3-a) while P < 30:

b) La valeur que j'obtient sur Python est 9.

Est-ce que c'est correcte ?

Posté par
ZEDMAT
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 30-01-21 à 19:11

Bonsoir,

En passant,
Je ne m'explique pas la confusion de tes derniers messages puisque tu sembles avoir compris comment évoluent les grandeurs xn et ln :

Citation :
d'après ce que j'ai compris j'ai trouvé :

On sait que x0 = 3 donc x1 = 4
et l0 = 1 donc l1 = 1/3.


Continue comme tu as commencé... les réponses aux questions sont basiques.

En reprenant si besoin les figures données pour vérifier (tu peux compter mais mieux vaut réfléchir ), essaye de remplir les premières lignes d'un tableau comme celui-ci...

Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch

Posté par
ZEDMAT
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 30-01-21 à 19:18

Je découvre ton dernier message...

Voilà au moins qui est clair. Bravo. Oublie mon intervention...

Juste une erreur de frappe :
"b) On a : ln = 1/3 ln"

et question 3b) fais une phrase pour répondre.

Posté par
raf88
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 30-01-21 à 19:24

Bonsoir,

Merci beaucoup pour votre aide

Bonne soirée

Posté par
raf88
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 30-01-21 à 20:06

J'ai vraiment envie d'avoir 20/20 à ce DM et j'ai un professeur qui est très exigent
Donc une question s'il vous plait : Si je comprends bien, tout est bon sauf :

- la question 1 : qui n'est pas complet mais je n'arrive pas a savoir qu'est ce qui est faut pour compléter ?

- 2.b) : Il y a une faute de frappe mais je ne comprends pas ?

- Puis la 3.b) : Voici ma phrase : A l'aide de Python la valeur afficher est 9.
Est-ce correcte ou pas suffisante ?

Posté par
raf88
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 30-01-21 à 20:08

Ah je pense avoir compris mon erreur pour la b, c'est plutôt ln+1 ?

Posté par
ZEDMAT
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 30-01-21 à 21:25

raf88 @ 30-01-2021 à 20:08

Ah je pense avoir compris mon erreur pour la b, c'est plutôt ln+1 ?


Oui bien sûr.

Posté par
ZEDMAT
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 30-01-21 à 21:41

Citation :
Puis la 3.b) : Voici ma phrase : A l'aide de Python la valeur afficher est 9.
Est-ce correcte ou pas suffisante ?


Pas terrible...

Pour bien formuler une réponse, il est souhaitable de bien relire la question.

Citation :
On veut déterminer le premier flocon dont le périmètre sera supérieur à 30.
[...] déterminer la valeur recherchée.


Tu peux commencer par dire en effet que le programme en python renvoie la valeur 9 pour n. Ok.
Puis interpréter cette valeur : 9 est le numéro du premier flocon F9 dont le périmètre est supérieur à 30.
Tu peux compléter encore en donnant le périmètre de ce flocon....

Pour la question 1, peut-être tout simplement expliquer que x1 est égal à 4 fois x0 donc
x1 = 4*x0
         =4*3 = 12
Puis de même pour l1
et enfin le lien (évident) entre x1, l1 et p1.

Posté par
raf88
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 30-01-21 à 23:06

Merci pour votre réponse, voici ce que j'ai pu faire :

Pour la question 1 : On sait que x1  est égal à 4* x0 donc
x1 = 4*x0 qui fera donc : 4*3 = 12. Puis pour l1 on sait que c'est égal à 1/3*l0 qui fera donc : 1/3*1 = 1/3

Pour le lien entre x1, l1 et p1 : Puisque la transformation transforme 1 segment en 4 segments de même longueur et que les 3 segments de départ sont de même longueur les segments ont tous la même longueur à l'étape n.


Pour la 3.b) : En s'aidant de Python, le programme renvoie la valeur 9 pour n. Sachant que 9 est le numéro du premier flocon F0 dont le périmètre est supérieur à 30. Le périmètre de ce flocon est de 4/3 ?

Est-ce correcte ou pas ?

Posté par
ZEDMAT
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 30-01-21 à 23:32

raf88 @ 30-01-2021 à 23:06



Pour le lien entre x1, l1 et p1 : Puisque la transformation transforme 1 segment en 4 segments de même longueur et que les 3 segments de départ sont de même longueur les segments ont tous la même longueur à l'étape n.
C'est un peu confus ! En fait, la relation  est p1 = x1*l1 tout simplement. Il y a x1 cotés qui mesurent tous l1 donc le périmètre est... évident !!


Pour la 3.b) : Le périmètre de ce flocon est de 4/3 ?
Là tu es complètement à coté de la plaque . Le périmètre du 9ème flocon est supérieur à .... 30 .
Est-ce correcte ou pas ?

Posté par
raf88
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 31-01-21 à 00:08

Donc de ce que j'ai compris p1=x1*l1 = 12*1/3 = 4 le périmètre est 4 ?

Pour la 3.b) Je comprend pas comment je peux trouver le périmètre ?

Posté par
ZEDMAT
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 31-01-21 à 09:57

raf88 @ 31-01-2021 à 00:08

Donc de ce que j'ai compris p1=x1*l1 = 12*1/3 = 4 le périmètre est 4 ?

A ce niveau d'explication, le doute n'est plus permis !

Pour la 3.b) Je comprend pas comment je peux trouver le périmètre ?
Pour le 9ème flocon (donc n= 9),
tu calcules le nombre de cotés x9 du polygone puis la longueur l9 de chaque coté . Tu en déduis alors le périmètre p9 du polygone.

Posté par
raf88
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 31-01-21 à 10:49

D'accord donc pour la 1 j'ai trouvé 4 pour son périmètre.

Et pour la 3.b) j'ai fait P = nombre de côtés*longueur d'un côté et j'ai trouvé :


192*4/3 = 256. Donc son périmètre est de 256


Est-ce que c'est ça ?

Merci pour votre aide

Posté par
ZEDMAT
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 31-01-21 à 12:19

Citation :
Et pour la 3.b) j'ai fait P = nombre de côtés*longueur d'un côté et j'ai trouvé :


192*4/3 = 256. Donc son périmètre est de 256

Est-ce que c'est ça ?


NON. Est ce bien toi qui a rédigé le message d'hier à 18h55 ?

Je pensais à la lecture de ce message qui est.... parfait que tu avais tout compris.
Tel n'est pas le cas.

Relis ce message, essaye de le comprendre puis de l'appliquer

Posté par
raf88
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 31-01-21 à 14:27

D'après mes calculs je trouve 36,
  9/3n*3*4= 27*4n/3n= 27*(4/3)n= 36.


Posté par
ZEDMAT
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 31-01-21 à 14:45

Moi, pas
Rappel :

Citation :
a) On a xn+1 = 4 xn
xn = x0 * qn soit xn = 3*(4n)

b) On a : ln+1= (1/3) ln
ln = l0*q'n soit ln = (1/3)n.

c) pn = xn*ln donc pn = 3*4n*(1/3)n soit pn= 3*(4/3)n

Posté par
raf88
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 31-01-21 à 16:02

Excusez-moi c'est juste que je mélange tout donc je me perd dans mes calculs et formule.

Cette fois ci j'ai calculé de cette manière :
p1= 3*(4/3)9 je trouve donc = 39,95

Posté par
ZEDMAT
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 31-01-21 à 16:54

D'accord.

Posté par
raf88
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 31-01-21 à 17:01

C'est donc bon ?

Posté par
ZEDMAT
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 31-01-21 à 18:56

Si j'ai dit "D'accord"... faut me croire .

Posté par
raf88
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 31-01-21 à 19:33

D'accord merci encore une fois pour votre aide

Bonne soirée

Posté par
ZEDMAT
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 31-01-21 à 22:03

Bonne soirée à toi aussi et bon courage.

Posté par
dirac
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 01-02-21 à 19:03

Hello

J'étais avant-hier en train de répondre au message initial lorsque Yzz a été plus prompt que moi (tant mieux, mes propos étaient moins amènes  )

En revisitant le post ce soir je relève:

"J'ai vraiment envie d'avoir 20/20 à ce DM   et j'ai un professeur qui est très exige(a)nt "

2 pistes pour un 21/20 (donc en cumulé cela peut faire du 22/20)

Ecris le programme python qui trace les flocons
et/ou
Calcule la surface du flocon :)

Posté par
ZEDMAT
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 01-02-21 à 19:28

@ dirac

Dans ton message tu proposes un complément d'énoncé

Citation :
Calcule la surface du flocon

qui ne me semble pas approprié.

Je proposerais plutôt de calculer la capacité ( ou le volume) compte tenu du titre de ce "fil" :

         SUITES ARITH. ET GEO. - LES FLACONS DE VON KOCH

Posté par
dirac
re : Suites Arith. et Geo. - Les flacons de Von Koch 01-02-21 à 22:04

Pas mal je n'avais pas vu la coquille ... un 20/20 sera déjà bien alors



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