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suites arithmético-géométrique
on considère la suite Un définie par son premier terme u0 et la relation générale:
Un+1 = a * Un + b valable pour tout n de IN ( a, b étant 2 réels fixés ; a différent de 0)
1) on suppose différent de 1. soit "lambda" l'unique réel solution de l'équation x = ax + b.
montrer que la suite (Vn) est définie pour tout n de IN par Vn= Un - "lambda" est une suite géométrique. En déduire l'expresion de Vn puis celle de Un en fonction de U0, n, a et b.
2) vérifié que pour b=0, on retrouve bien le résultats relatifs au suite géométriques.
3)A quelle(s) condition(s) la suite arithmético-géométrique (Un)converge-elle? Quelle est alors sa limite?
Pour la quetion 1, j'ai trouvé que la raison était de a
donc Vn = V0 * a^n
on sait que Un="lambda" + Vn
delà je n'arrive pas a mettre Un en fonction de U0, a ,b et n.
Comment dois-je faire?
pour les deux question suivante je ne sais vraiment pas comment répondre.
merci pour vos réponses.
Audrey, tu as :
Vn = V0 * a^n
Exprime V0 en fonction de U0 et lambda.
Et lambda, tu ne peux pas le calculer facilement ?
j'ai donc Vn = (U0 - "lambda") * a^n
la solution de cette équation: x=ax+b est "lambda"
si je résouds ça veut donc dire que "lambda" = b/(a-1)
d'où
Vn= ( U0- b / (a-1) ) * a^n
et alors
Un= ( ( U0- b / (a-1) ) * a^n ) - b/(a-1)
Est ce bien ça?
L'affichage me semble bizarre. Je voulais juste dire que c'est un "+" à la fin, je crois :
Un = ... + b/(a-1)
c donc:
Un= ( ( U0- b / (a-1) ) * a^n ) + b/(a-1)
merci!!!
pour la deuxièmequestion je remplace b par zéro
j'ai alors:
Vn= U0 * a^n
c'est à dire la formule d'une suite géométrique.
il ne faut pas démontrer plus?
enfin pour la dernière question, il faut que: -1< a =<1
de cette manière la suite (Un) convergera.
Est ce que c'est ça?
si -1 < a < 1 la limite est b/ (a-1)
si a = 1 la limite est donc de ( U0 - b/(a-1) )+b/(a-1)
voila je crois que c'est ça
merci
Presque !
Tous tes calculs précédents reposent sur a différent de 1 (puisque tu divises par a-1).
Il faut maintenant traiter le cas particulier a=1
là je ne comprends pas où se trouve mon erreur.
pour la 1ère question on disait que a était différent de zéro. pour la question 2 la valeur de a n'influençait rien.
DOnc dans la question 3 il faut tenir compte de toutes les valeurs de a.
il faut donc que je dise que la limite de Un = U0 quand a = 1.
C'est cela?
Audrey, le problème apparait quand tu calcules
Donc si a est différent de 1, alors
Sinon, tu n'as pas le droit de diviser (cela serait une division par zéro).
Ce zoom permet d'ailleurs de voir que tu as fait une erreur de calcul sur dans le cas "a différent de 1".
On a et non
Nicolas
L'énoncé dit "on suppose différent de 1".
J'imagine que cela signifie : "on suppose a différent de 1"
Mais cela n'est valable que pour la question 1)
Pour les autres questions, on revient à l'énoncé général "a, b étant 2 réels fixés ; a différent de 0" et il faut donc aussi étudier le cas a=1.
C'est du moins ma compréhension.
Nicolas
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