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Suites arithmétique et géométrique

Posté par
Charlottede45
16-02-22 à 10:37

Bonjour à tous,
J'ai un DM de maths à faire pendant les vacances, j'ai essayé de le faire mais il y a des questions où je bloque (surtout l'exercice 2 parce que le 1 je l'ai fait). J'aimerai savoir si c'est possible que vous me veniez en aide.

Voici l'énoncé :
Une médiathèque a ouvert début 2017 et 3 000 personnes se sont inscrites durant la première année. Chaque
année, 75 % des inscrits renouvellent leur abonnement et 500 nouvelles adhésions ont lieu. On modélise la situation
par la suite (An) définie pour tout entier naturel n, ou A0=3000 est le nombre d'adhérents en 2017 et An le nombre
d'inscrits l'année 2017 + n.

J'ai mis en pièce jointe les questions ainsi que mon schéma pour m'aider à visualiser l'énoncé.

La question 1/a j'y ai répondue j'ai trouvé
A1=2750 et A2=2562,5

La 1/b je ne sais pas comment expliquer

La 2/a  j'ai mis Bn+1=0,75Bn mais je ne suis pas très sûr

Le reste des questions je n'y arrive pas j'ai beaucoup de mal à comprendre.

Si vous pouviez m'aider ce serait gentil de votre part. Bonne journée

Suites arithmétique et géométrique

Posté par
Leile
re : Suites arithmétique et géométrique 16-02-22 à 10:44

Bonjour,

pour justifier la 1b)  tu peux expliquer le calcul que tu as fait en 1a).

2a)
il faut partir de bn  =  an - 2000   et é crire
b n+1   =   ??

vas y !

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 16-02-22 à 10:51

2a) Bn+1=0,75Bn ?

Posté par
Leile
re : Suites arithmétique et géométrique 16-02-22 à 10:54

C'est à ça que tu dois arriver, mais  là, tu ne montres rien.

Bn   =   An    - 2000   donc
Bn+1  =  An+1   - 2000
remplace   An+1   par son expression en fonction de An

Posté par
hekla
re : Suites arithmétique et géométrique 16-02-22 à 11:20

Bonjour

Juste de passage
Le,5 pour la valeur de a_2 me choque beaucoup.  Comment cela peut-il représenter un nombre d'adhérents ? On en coupe 1.

Posté par
Leile
re : Suites arithmétique et géométrique 16-02-22 à 11:22

merci hekla, j'avais vu.
J'attendais juste que Charlottede45 me réponde.

Posté par
Leile
re : Suites arithmétique et géométrique 16-02-22 à 11:40

Charlottede45, tu ne réponds plus ?

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 18-02-22 à 11:33

hekla @ 16-02-2022 à 11:20

Bonjour

Juste de passage
Le,5 pour la valeur de a_2 me choque beaucoup.  Comment cela peut-il représenter un nombre d'adhérents ? On en coupe 1.
hekla @ 16-02-2022 à 11:20

Bonjour

J'ai fais le calcul à ça ma donner ce résultat. Faut-il que je fasse un arrondissement ?

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 18-02-22 à 11:36

Leile @ 16-02-2022 à 10:54

C'est à ça que tu dois arriver, mais  là, tu ne montres rien.


Excusez moi, j'habite en campagne et avec le mauvais temps notre connexion a été interrompue
Bn   =   An    - 2000   donc
Bn+1  =  An+1   - 2000
remplace   An+1   par son expression en fonction de An


An= Bn+2000 ? Mais l'énoncé dit qu'il faut exprimer Bn+1 en fonction de Bn. Don  je vous avoue que je ne comprends pas trop ce que l'on fait

Posté par
hekla
re : Suites arithmétique et géométrique 18-02-22 à 14:05

Bonjour

Je sais bien que le calcul donne ce résultat, mais il est toujours possible d'écrire une phrase à côté, genre : En 2019 on peut estimer à 2562, le nombre d'adhérents à la médiathèque.

B_{n+1}= a_{n+1}-2000 or a_{n+1}= 0,75a_n+500

on va donc remplacer  a_{n+1} par sa valeur

 B_{n+1}=0,75a_n+500-2000

On effectue les calculs  on met 0,75 en facteurs, on reconnaît une certaine expression

Ne citez pas cela alourdit les messages pour rien

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 15:49

Excusez moi j'ai des soucis de connexion.
Je comprends pas trop. On demande d'exprimer Bn+1 en fonction de Bn mais dans ce que vous avez écrit il n'y a pas Bn ?

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 15:52

D'accord pour la phrase mais du coup pour la suite des calculs je prends la valeur exacte, c'est à dire je prends 2562,5 ou je prends la valeur approximative donc 2562.

J'ai une autre question pourquoi on arrondi à 2562 alors que 2562,5 est plus proche de 2563 ?

Posté par
hekla
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 16:07

Bonjour

Patientez un peu, justement après avoir mis 0,75 en facteur, vous devriez voir apparaître  B_n sous la forme de sa définition.

J'ai arrondi à 2562 parce que la suite est décroissante. J'ai pris  alors le plus petit. Vous faites ce que vous voulez soit 2563 soit 2562.

Vous faites les calculs avec les résultats précédents et vous n'arrondissez qu'à la fin.  

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 16:33

On sait que Bn= An-2000
Dans l'expression on voit Bn+1=0,75An+500-2000

Nous retrouvons Bn car il y a An-2000 dans l´
Expression .

Donc Bn+1= 0,75Bn+500 du coup ?

Posté par
hekla
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 16:41

B_{n+1}=0,75A_n-1500=0,75\left(A_n-\dfrac{1500}{0,75}\right)

Commencez par simplifier

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 17:17

Bn+1=0,75(An-1500/0,75)
            =0,75( An-2000)
            =0,75An-1500
            

Posté par
hekla
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 17:37

Vous factorisez par 0,75, ce n'est pas pour que la ligne d'après vous développiez

N'avez-vous pas vu le A_n-2000  qui est justement 1ère ligne 16:33

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 17:55

Donc, je dois rester sur Bn+1=0,75(An-2000) ?

Posté par
hekla
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 18:14

Si vous dites que B_n=A_n-2000, on peut peut-être dire que A_n-2000=B_n et lui substituer  B_n dans B_{n+1}=0,75(A_n-2000)

Ce qui prouvera la suite géométrique

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 18:33

D'accord.

2)b) le terme général de la suite (Bn) est Bn=B0xQ^n    Soit Bn=1000xq^n

Et celle de (An) c'est An=A0+nr  ?

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 18:35

2)c) la suite (An) est strictement décroissante
         La suite (Bn) est décroissante ?

Posté par
hekla
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 18:37

Soyez plus explicite pour B_0

x est une lettre le symbole de la multiplication est \times que vous pouvez trouver dans \Pi à défaut *

il faudrait expliciter q

(A_n ) n'est pas une suite arithmétique.  A_n n'est-il pas lié à B_n ?

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 18:45

Pour le programme j'ai écris cela (je vous avoue que je sais pas trop utiliser python). Mais je trouve que le résultat est pas très bon

Suites arithmétique et géométrique

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 18:47

Si (An) est lié à (Bn) se serait plutôt
An=Bn+2000

Parce que Bn=An-2000

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 18:53

Q est la raison donc Q=0,75
A0=3000
B0=A0-2000=3000-2000=1000

Alors le terme général de la suite (Bn) serait
Bn=B0*q^n
Bn=1000*0,75^n

Posté par
hekla
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 18:57

On ne vous a pas demandé d'écrire un programme, on vous le donne. On vous demande seulement à quoi il sert

Oui A_n=2000+B_n et vous savez écrire B_n en fonction de n.

Posté par
hekla
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 18:58

D'accord pour 18 :53

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 19:32

Donc le terme général de la suite (An) serait
An=2000+Bn soit An=2000+1000*0,75^n

Posté par
hekla
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 19:40

Absolument, pourquoi cela vous surprend ?

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 19:42

Je ne sais pas, je pensais pas que c'était possible. Mais du coup son sens de variation reste décroissante ?

Posté par
hekla
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 19:54

Pour la suite géométrique pas de problème, c'est du cours

 A_{n+1}-A_n=B_{n+1}+2000-(B_n+2000)

décroissante aussi

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 19:57

D'accord merci.
Du coup le programme il permet de calculer le nombre d'adhérent ?

Posté par
hekla
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 20:07

Le nombre d'adhérents vous est donné

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 20:33

La suite (An) du coup ?

Posté par
hekla
re : Suites arithmétique et géométrique 23-02-22 à 20:34

Que veut-on savoir ?  Qu'est-ce que 2100 ?

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 24-02-22 à 12:48

2100 n'est pas donné dans l'énoncé

Posté par
hekla
re : Suites arithmétique et géométrique 24-02-22 à 13:27

Bien sûr que cette donnée figure dans l'énoncé, à l'intérieur de l'algorithme.

On a tant que le nombre d'adhérents est supérieur strictement à 2100

on calcule le nombre d'adhérents l'année d'après On a mis le compteur  à 0 au départ et après chaque passage, on augmente de 1 le nombre d'années

Que cherche-t-on ?

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 24-02-22 à 13:30

On cherche quelles sont les années où le nombre d'adhérents est supérieur à 2100?

Posté par
hekla
re : Suites arithmétique et géométrique 24-02-22 à 13:51

Non, c'est le contraire. On cherche à partir de quelle année le nombre d'adhérents sera inférieur à 2100.

L'algorithme donne la valeur de n.

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 24-02-22 à 18:59

Donc, pour la dernière question du dm je dois faire le programme pour interpréter le dernier résultat ?

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 24-02-22 à 19:06

Pour la question 1-b je n'arrive pas à justifier. Je sais juste que c'est donner dans l'énoncé.

Posté par
hekla
re : Suites arithmétique et géométrique 24-02-22 à 19:13

Question 1 b)  c'est tout simplement   dire ce que vous avez fait pour calculer a_1 et a_2

on prend la valeur de départ, c'est-à-dire a_n  et on construit au fur et à mesure a_{n+1}

Pour 3 il n'y a plus de problème ?

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 24-02-22 à 19:21

Si pour la 3)b
Je dois dire quoi ?
Je pense que je devrais faire le calcul et dire en quelle année il y aura 2100 adhérants?

Posté par
hekla
re : Suites arithmétique et géométrique 24-02-22 à 19:25

C'est cela même. On obtient  n = donc on peut dire qu'en 2017 +n, il y aura moins de 2100 adhérents.

Posté par
Charlottede45
re : Suites arithmétique et géométrique 24-02-22 à 19:51

Je mets seulement 2017+n ou bien je cherche n?

Posté par
hekla
re : Suites arithmétique et géométrique 24-02-22 à 20:14

Vous cherchez n. C'est bien ce que vous aviez écrit.



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