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suites arithmétique. Parabole
bonjour a tous merci de bien vouloir sur cette exo
voici l'énoncé
dans le plan muni d'un repere orthonormal (O;vect i; vect j) on donne les points A0(1;1) et A1(2;2) .
on considere la ligne brisée A0,A1,...An telle que pour tout entier naturel n :
- le point An a pour abscisse n+1
- les coefficient directeurs des droites (A0A1) ,(A1A2) ,...(AnA(n+1)),... forment une suite arithmétique de raison 1/2
1) placez les points A0 A1 A2 A3 A4 A5 .
2)on note (Xn;Yn) les coordonnées du point An
démontrez que pour tout entier naturel non nul ,
Y(n)-Y(n-1)=(n+1)/(2)
déduisez en que Yn=(n²+3n+4)/(4)
3)démontrez alor que les points An appartiennent a une parabole P tracez cette parabole sur la mm figure que les point A0 A1 A2 A3 A4 A5 .
VOILA MERCI BCP DE VOTRE AIDE
points A0 A1 A2 A3 A4 A5
coef dir 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2
absisse 1 2 3 4 5 6
ordonnée 1 2 7/2 11/2 16/2 22/2
soit c(n,n-1) coef dir entre An-1 et An vaut (n+1)/2
demonstration par recurrence
n=1
c0,1=1
or pour n=1 (n+1)/2 =2/2=1
supposons que c(n,n-1) =(n+1)/2
c(n-1,n)= c(n,n-1)+ 1/2
= (n+1)/2+1/2
= (n+2)/2
Yn= (Yn-1)+ c(n,n-1) *(Xn-(Xn-1))
or Xn-(Xn-1)=1
dou Yn-(Yn-1)=c(n,n-1)*1=(n+1)/2
par recurrence
n=0
Yo=1
or pour n=0 (n²+3n+4)/4=4/4=1
supposons que yn =(n²+3n+4)/4
yn+1= yn+ ((n+1)+1)/2
= (n²+3n+4)/4+(n+2)/2
= (n²+5n+8)/4
-------------------------------------------
or ((n+1)²+3(n+1)+4)/4
=((n²+2n+1)+3n+3+4)/4
=(n²+5n+8)/4
dou yn+1= ((n+1)²+3(n+1)+4)/4
dou yn =(n²+3n+4)/4
on remarque que (n²+3n+4)/4=((n+1)²+(n+1)+2)/4
dou
Yn=((n+1)²+(n+1)+2)/4
or Xn=n+1
dou Yn=(Xn²+Xn+2)/4 ce qui correspond bien a une equation de parabole
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