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Suites arithmétiques et géométriques

Posté par
rubens
20-04-18 à 11:53

Bonjour/bonsoir,
pour la rentrée j'ai un devoir de math à faire qui comporte notamment un exercice sur les suites. J'aimerai savoir si je l'ai fait juste.
énoncé:
pour chacune des affirmations proposées, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier cette réponse.
1/ Soit (Un) définie pour tout entier naturel n:
U0 = 4,5
Un+1 = 3Un+5
Soit (Tn) définie par Tn = Un -2,5
affirmation A: la suite Tn est géométrique
affirmation B: pour tout n, Un = 2x3^n + 2,5

2/ soit Vn
affirmation C:
si pour tout entier naturel n supérieur à 1:
1-(2/n)\le  Vn \le 2+(1/n)
alors la suite Vn converge
3/ affirmation D: pour tout entier naturel non nul:
(2x1-5)+(2x2-5)+...+(2xn-5) = n(n-4)
4) Soit Wn une suite convergent:
affirmation E: Si, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite (Wn) sont strictement négatifs alors la limite de la suite Wn est aussi négative.

Traces de recherche:
1) A) Tn = Un - 2,5
Tn+1 = Un+1 - 2,5
            = 3Un+5 -2,5
            = 3(Tn+2,5) + 2,5
            = 3Tn +7,5 + 2,5
            = 3Tn +10
La suite Tn n'est pas de forme géométrique, l'affirmation est fausse

B) Un+1 = 3Un +5
Un = U0 x q^n +r
Un = 4,5 x 3^n +5 ?

2) C) Vn est comprise entre 1-(2/n) et 2+(1/n)
On sait que Lim 1-(2/n) = 1 et lim 2+(1/n) = 2
1 - (2/n) et 2+(1/n) sont décroissantes.
La suite Vn est majorée par 2 et minorée par 1. On en déduit que Vn est décroissante. La suite Vn étant minorée et majorée et étant croissante, elle converge, l'affirmation est vraie.

3) D) Initialisation pour  n=1
(2*1-5)=1(1-4)
2-5 = 1(-3)
-3 = -3
La propriété est initialisée pour n=1
après je suis bloqué pour l'hérédité.

4) On sait que la suite converge. Donc, si ses termes deviennent négatifs à partir d'un certain rang n alors la suite Wn est alors elle aussi négative, l'affirmation est vraie.


Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Posté par
Leile
re : Suites arithmétiques et géométriques 20-04-18 à 12:01

bonjour

pour la question 1,   tu es sûr de l'énoncé ? Un+1 = 3Un+5   ??
ca n'est pas plutôt Un+1 = 3Un - 5   ?

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et géométriques 20-04-18 à 12:14

Bonjour Leile

je pense plutôt que  T_{n}=u_n+2,5

T_{n+1}=u_{n+1}+\alpha

T_{n+1}=3u_n+5+\alpha=3\left(u_n+\dfrac{5+\alpha}{3}\right) on doit donc avoir

\dfrac{5+\alpha}{3}=\alpha  \  5+\alpha=3\alpha\  \text{d'où  } \ \alpha =\dfrac{5}{2}

Posté par
Leile
re : Suites arithmétiques et géométriques 20-04-18 à 12:21

bonjour hekla,
oui tu as raison,   c'est plutôt dans la définition de Tn qu'il doit y avoir une erreur de signe.
Je dois partir, tu peux rester pour la suite ?

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et géométriques 20-04-18 à 12:25

pour l'instant il n'est pas en ligne

je passerai de temps en temps

Posté par
Leile
re : Suites arithmétiques et géométriques 20-04-18 à 12:32

ok, merci

Posté par
rubens
re : Suites arithmétiques et géométriques 20-04-18 à 14:07

Bonjour, je vous remercie pour la rapidité de vos réponses.

Leile @ 20-04-2018 à 12:01


ca n'est pas plutôt Un+1 = 3Un - 5   ?

non l'énoncé dit bien Un+1 = 3Un+5
effectivement ça aurait été plus simple si c'était Un+1 = 3Un - 5

hekla @ 20-04-2018 à 12:14



je pense plutôt que  T_{n}=u_n+2,5



nono l'énoncé dit bien Tn = Un - 2,5, c'est pour ça que je suis un peu perdu

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et géométriques 20-04-18 à 14:19

dans ce cas les deux affirmations sont fausses

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et géométriques 20-04-18 à 14:20

pour le montrer calculez les premiers éléments  

Posté par
rubens
re : Suites arithmétiques et géométriques 20-04-18 à 14:29

d'accord merci de votre réponse pour cette question
est-ce que le reste est juste?

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et géométriques 20-04-18 à 15:05

pour C la suite est bornée c'est tout ce que l'on peut dire

on n'a rien comme renseignement sur (v_n)

pour D la suite est très mal écrite x n'a jamais été le signe de la multiplication

pas besoin de récurrence

2\times 1-5+2\times 2-5 +\dots +2\times (n-1)-5+2n-5=2(1+2+3+\dots+n-1+n)-5n

1+2+3+\dots +n-1+n=\dfrac{n(n+1)}{2}

D=n(n+1)-5n
je vous laisse conclure

E cela semble vrai

Posté par
rubens
re : Suites arithmétiques et géométriques 20-04-18 à 15:16

d'accord, merci pour votre aide

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et géométriques 20-04-18 à 15:18

de rien



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