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suites arithmétiques et géométriques

Posté par
clarisse1
31-03-21 à 14:16

Bonjour,
j'ai un dm à faire et je bloque

u est la suite définie pour tout n appartenant IN, par un = 3/2n+1

1. a. Quelle est la nature de cette suite ?
b. Etudier le sens de variation de u.
2. a. Représenter cette suite dans un repère.
b. Interpréter graphiquement les variations absolues un+1 - un.
3. v est la suite des variations relatives entre deux termes consécutifs de u, c'est-à-dire que pour tout n appartenant Vn=Un+1-Un/un
a. Calculer v0, v1, v2.
b. Etudier le sens de variation de la suite v.

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 15:24

Bonjour

Que proposez-vous ?

Avez-vous calculé les 3 premiers termes de la suite ?

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 15:31

Donc, il faudrait que je calcul les premiers termes de Vn et Wn?

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 15:37

   Il  n'y a qu' u_n et v_n pas de w_n

Cela permettra de calculer u_1-u_0 et   u_2-u_1 si c'est constant il faut passer à la différence de 2 termes consécutifs

ou \dfrac{u_1}{u_0} et \dfrac{u_2}{u_1} si c'est constant il faut passer au   quotient de 2 termes consécutifs

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 15:38

je ne comprends pas votre façon pourriez-vous me montrer?

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 15:41

 n=1 \quad u_1=\dfrac{3}{2} \times 1+1 =

  Cela se calcule comme n'importe quelle image  u_1 est une autre écriture pour f(1)

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 15:42

je ne sais pas d'où vous sortez votre 3/2

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 15:43

C'est pourtant ce que vous avez écrit

Citation :
par un = 3/2n+1

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 15:47

désolé, je m'étais trompée d'exercice dans ma tête.
Alors ,
pour U0=3/2x0+1=1
            U1=3/2x1+1=5/2
             U2=3/2x2+1=4
             U3=3/2x3+1=11/2
c'est bien ça?

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 15:59

Sauf que le symbole de la multiplication n'est pas la lettre x

Vous le trouvez dans  \Pi sous la feuille de réponse  à défaut *

Calculez  \dfrac{5}{2}-1 \ ;\ 4-\dfrac{5}{2}\ ; \ \dfrac{11}{2}-4

Si vous obtenez le même résultat, il faudra passer à u_{n+1}-u_n

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 16:02

D'accord je note,
alors
5/2-1=3/2
4-5/2=3/2
11/2-4=3/2

donc maintenant,
Un+1-Un= 3/2n+1+1-(3/2n+1)
                      = 3/2n+2-3/2n-1
                      =1
c'est ça?

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 16:10

Non car vous avez oublié les parenthèses

u_{n+1}-u_n=\dfrac{3}{2}\left(n+1\right)+1 -\left( \dfrac{3}{2} n+1\right)=  \dfrac{3}{2}n+ \dfrac{3}{2}+1- \dfrac{3}{2}n-1= \dfrac{3}{2}

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 16:21

d'accords donc j'en déduis que c'est une suite arithmétique.
Puis son sens de variation est croissant car 3/2 est positif.
Donc, nous venons de répondre à la question 1 a et b?

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 16:26

Pas tout à fait   suite arithmétique de raison  \dfrac{3}{2}  ça d'accord, mais il manque le
premier terme
Oui la suite est croissante puisque la différence entre 2 termes consécutifs est positive. Elle vaut   \dfrac{3}{2}

Oui  

Question 2

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 16:44

pour le premier terme, nous l'avons calculer précédemment U0=1

Question 2:
voir graphique

suites arithmétiques et géométriques

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 16:51

Je n'avais pas dit le contraire,  mais pour définir une suite arithmétique il faut le premier terme et la raison

Oui ou avec un peu plus de termes

suites arithmétiques et géométriques

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 16:54

Oui j'ai juste fait les premiers termes.
Je ne comprends pas la question 2 b)

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 17:02

u_{n+1}-u_n =\dfrac{3}{2}

Les points sont alignés sur la droite d'équation y=\dfrac{3}{2}x+1

On peut dire que c'est le coefficient directeur de la droite,  que c'est le taux de variation, que c'est la différence entre les ordonnées de 2 points consécutifs

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 17:04

interpréter graphiquement les variations absolues un+1 - un.

Donc la réponse pour la question 2 c'est y=3/2x+1?

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 17:08

Ce que je vous ai proposé est une réponse possible à la question donc choisissez

préférence pour le coefficient directeur de la droite sur laquelle les points sont alignés

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 17:09

Je ne comprends pas très bien votre réponse

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 17:13

Il y a toutes sortes de réponse possible. Je vous en ai données  quelques-unes   et à la fin j'ai écrit celle que j'écrirais.

  

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 17:15

D'accord je comprends mieux. Merci

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 17:21

la question 3
V0=1
V1=5/2
V2=1  
J'ai remplacé les n par 0,1 ou 2

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 17:30

v_n=\dfrac{u_{n+1}-u_n}{u_n}=\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)}{u_n}=\dfrac{3}{2u_n}

v_0=\dfrac{3}{2u_0}=\dfrac{3}{2}

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 17:36

Donc,
V1=3/2U1= 3/(2x5/2)=3/5
c'est bien ça?

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 17:40

Oui Pourquoi ? Vous n'êtes pas d'accord

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 17:44

si j'avais un doute
donc, ensuite nous avons
V2=3/8 ?

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 17:45

Nous en déduisons que la variation est décroissante car les termes sont décroissants?

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 31-03-21 à 17:49

Cela doit vous alerter si vous trouvez autre chose

on reste dans les définitions  v_{n+1}-v_n=

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 01-04-21 à 20:34

Donc,si je suis votre logique
Vn+1-Vn= 3/2un-(3/2un+1)
c'est bien ça?

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 01-04-21 à 20:40

Oui, il faut aussi faire les calculs

v_{n+1}-v_n=\dfrac{3}{2u_{n+1}}-\dfrac{3}{2u_{n}}

Réduction au même dénominateur

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 01-04-21 à 20:43

donc la raison est 3/2un

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 01-04-21 à 20:51

Il n'est pas question de cela
On vous demande le sens de variation de la suite (v_n)
donc on veut le signe de v_{n+1}-v_n

C'est juste un calcul de fractions  le reste nous importe peu

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 01-04-21 à 22:35

Donc,

Vn+1-Vn=3/2Un+1-(3/2Un)
                    = 3/2x(3/2(n+1))+1 -(3/2x(3/2n)+1)
                    = 3/2x(3/2n +3/2) +1 - 3n -1
                     = 3n+3+1-3n-1
                     =3
Donc le signe est positif donc c'est croissant

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 01-04-21 à 23:18

Vous aviez les premiers termes  manifestement cela ne plaidait pas pour une suite croissante

  v_{n+1}-v_n=\dfrac{3}{2u_{n+1}}-\dfrac{3}{2u_{n}}=\dfrac{3u_n-3u_{n+1}}{2u_nu_{n+1}}=\dfrac{3(u_n-u_{n+1})}{2u_nu_{n+1}}

Quel est le sens de variation de la suite (u_n) ?

Que peut-on alors dire de u_n-u_{n+1} ?

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 01-04-21 à 23:25

Le sens de la suite (Un) est croissant.
Alors un+1-Un est croissant aussi?

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 01-04-21 à 23:30

Si la suite (u_n) est croissante alors  pour tout n,  u_{n+1}>u_n ou u_{n+1}-u_n>0

que peut-on alors dire de v_{n+1}-v_n ?

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 01-04-21 à 23:31

Nous pouvons dire que c'est la même chose

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 01-04-21 à 23:31

Car 3>0 et 2>0

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 01-04-21 à 23:37

Non  

v_{n+1}-v_n=\dfrac{3(u_n-u_{n+1})}{2u_nu_{n+1}}

3 >0 \quad 2 u_nu_{n+1}>0 comme produit de termes positifs

 u_n-u_{n+1} =-\left(u_{n+1}-u_n}\right)

or u_{n+1}-u_n est \dots

donc v_{n+1}-v_n est \dots

La suite (v_n) est donc \dots

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 01-04-21 à 23:39

Un+1-Un est croissant
Donc Vn+1-Vn est croissant aussi
La suite est donc croissante

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 01-04-21 à 23:44

Faites-vous attention  à ce que j'écris ?

v_{n+1}-v_n=\dfrac{3(u_n-u_{n+1})}{2u_nu_{n+1}}

3 >0 \quad 2 u_nu_{n+1}>0 comme produit de termes positifs

 u_n-u_{n+1} =-\left(u_{n+1}-u_n}\right)

or u_{n+1}-u_n est positif 23 :30

donc v_{n+1}-v_n est \dots  car produit d'un nombre positif et d'un nombre négatif

La suite (v_n) est donc \dots   puisque v_{n+1}\dots v_n

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 01-04-21 à 23:50

D'accord donc
Vn+1-Vn est négatif

La suite (Vn) a st négatif puisque Vn+1 >Vn

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 01-04-21 à 23:56

  Il ne reste plus qu'une erreur  

si v_{n+1}-v_n <0   cela veut donc dire que  v_{n+1} < v_n

le plus petit veut manger le plus gros

v_{n+1}<v_n cela veut donc dire que la suite (v_n) est décroissante

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 02-04-21 à 00:06

D'accord merciii

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 02-04-21 à 00:10

Avez-vous bien compris ?  C'est cela le principal

De rien

Posté par
clarisse1
re : suites arithmétiques et géométriques 02-04-21 à 00:17

Oui tout me semble logique au final je relirais demain mais mercii

Posté par
hekla
re : suites arithmétiques et géométriques 02-04-21 à 12:34

S'il y a des questions, n'hésitez pas.



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