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Suites arithmétiques et gómétriques

Posté par
clarisse1
31-03-21 à 16:33

Suites arithmétiques et gómétriques

Revenu dans le cas d'un effet de retard.
Bien souvent, la consommation d'un pays est fonction du revenu de l'année précédente. Si on note Cn la consommation l'année n et Yn le revenu l'année n, on suppose que : Cn = 0,9×Yn-1 + 200 pour n1.
0,9 est la propension marginale à consommer (90% du revenu) et 200 est la consommation  incompressible.
En macro-économie fermée, dans la théorie keynésienne, le revenu de l'année n est lié à la  consommation par Yn = Cn + I, où I est l'investissement, indépendant de l'année considérée. Dans ce problème, on suppose que I = 100 et Y0 = 4500.
1. Montrer que Yn = 0,9×Yn-1 + 300.
2. On considère la suite Zn = Yn - 3000.
a. Montrer que (Zn) est une suite géométrique, de terme initial Z0 = 1500. b. En déduire l'expression de Zn en fonction de n ; puis de Yn en fonction de n.

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 16:36

Qu'est-ce qui pose problème  ?

Y_n=C_n+I Il n'y a qu'à remplacer

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 16:38

excuser moi j'au oublié de préciser que le 1 je l'ai réussi, je bloque sur le 2 et 3, si vous pouvez m'eclairer, merci

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 16:47

z_{n+1}=y_{n+1}-3000  vous remplacez y_{n+1} par sa valeur en fonction de y_n
vous effectuez les calculs  vous devez pouvoir mettre 0,9 en facteur et ensuite reconnaître z_n

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 16:49

pour le 1
Yn=0,9×Yn-1 + 200+(100)
     =0,9×Yn-1 +300

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 16:59

Zn+1= 0,9 x Yn+300-3000

Je ne sais pas mais Yn+1= 0,9xYn+200?

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 17:04

z_{n+1}=y_{n+1}-3000=0,9y_n+300-3000=0,9y_n-2700

on met 0,9 en facteur  qu'obtient-on ?

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 17:07

si j'ai bien compris le 0,9 remplace Yn?
Si, oui alors, nous avons:
0,9x0,9-2700=-2699,19

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 17:10

Non pas du tout  on veut montrer que la suite (z_n) est géométrique  donc que z_{n+1}=qz_n

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 17:15

La formule que j'ai appris pour identifier une suite géométrique est la suivante :
Un+1/Un
si je l'applique dans notre problème, nous avons:
0,9yn+300/0,9yn+200=300/200=3/2
donc nous aurions une suite géométrique de raison 3/2
C'est bien ça?

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 17:26

Ce que vous écrivez est indépendant de  z_n

On peut utiliser le quotient mais avant il faut alors s'assurer que tous les termes sont non nuls


 \\  u_{n+1}= q u_n \iff \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q

q=0,9

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 17:32

Donc, z_{n+1}=qz_n c'est exactement la m^me technique que {u_{n+1}}{u_n}=q  ?

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 17:33

oupss, Zn+1=QZn est la même chose que Un+1/Un non?

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 17:38

Oui cela revient au même, mais en général il est plus facile de montrer u_{n+1}=q u_n que le quotient

  z_{n+1}=0,9y_n-2700= 0,9(y_n-3000) et ici on reconnaît z_n

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 17:42

Je n'avais jamais fait de cette manière c'est pour cela.
Pour calculer le premier terme, je ne me rappelle pas de la formule pouvez-vous me donner la formule?

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 17:47

Toujours la même puisque la relation est donnée pour tout n

z_0=y_0-3000

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 17:54

je n'y arrive pas...

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 17:56

À faire une soustraction ?  On vous a dit y_0=4500

 z_0=4500-3000

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 17:57

J'avais oublié que c'était marqué dans l'énoncé donc
Z0=1500

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 17:59

donc en nous pouvons en déduire que
Zn=Yn-3000

et Yn=Cn+I

C'est bien ça?

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 18:05

Non, vous savez écrire le terme général d'une suite géométrique  u_n=u_0q^n

ensuite vous pouvez calculer y_n car y_n=z_n+3000

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 18:09

Donc,
Yn=Zn+3000
et Zn=Yn-3000

C'est ça?

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 18:15

Non on ne veut pas une relation de récurrence on veut une relation explicite

Je vous ai rappelé cette expression. Vous n'aviez qu'à l'appliquer

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 18:17

Ah Donc la réponse est Yn=Zn+3000

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 18:19

Non

\Large u_n=u_0\times q^n

Appliquez ceci à la suite  (z_n)

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 18:21

Zn=Z0xq^n
Je comprends pas trop

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 18:38

Vous avez montré que (z_n) est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme 1500

Donc  Cours z_n=1500\times (0,9)^n

maintenant que vaut  y_n en fonction de n uniquement

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 18:42

Yn=4500 x(0,9)n

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 18:57

Non y_n=z_n+3000

revoir les calculs de base et les règles de priorité

y_n=3000+1500\times (0,9)^n ou  pour ne pas être tenté

y_n=1500\times (0,9)^n+3000

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 19:00

Je ne comprends pas car la question nous demande de faire Zn en fonction de n puis yn

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 19:14

z_n en fonction de n

réponse z_n =1500\times (0,9)^n

puis y_n  en fonction de n (en implicite)

réponse  y_n=1500\times (0,9)^n +3000

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 19:16

Remarque  Dans le texte de votre premier message y_n en fonction de n est écrit explicitement

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 19:18

Yn = 0,9×Yn-1 + 300.

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 19:25

Lisez-vous ce que je vous écris ?  

On demande en fonction de n pas de  y_{n-1}

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 19:30

Yn = 0,9×Yn + 300.

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 19:34

À quoi jouez-vous ?

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 19:41

Je n'en sais rien je comprends pas

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et gómétriques 31-03-21 à 20:04

On a commencé par définir une suite par récurrence,  c'est-à-dire en fonction de ce qui se passait l'année précédente,  mais si l'on veut des prévisions dans 20 ans il faudra calculer toutes les valeurs précédentes.
Pour éviter cela, on introduit une suite auxiliaire. On vous a fait montrer que cette suite était une suite géométrique. Icelle est bien connue  par récurrence ou explicitement.
Vous avez-donc montré que (z_n) est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme 1500.
Les résultats du cours ont permis d'écrire d'une autre manière l'expression de z_n  
à savoir z_n=1500\times (0,9)^n Sous cette forme on peut donc calculer z_{27} sans avoir à calculer les termes
précédents. Ce qui nous importe ce ne sont pas les termes de cette suite, mais ceux de la suite (y_n). Puisque l'on a utilisé z_n=y_n-3000 on va pouvoir alors écrire y_n=z_n+3000

À l'aide du travail fait précédemment, obtenir directement la valeur de z_n on va alors pouvoir avoir
directement la valeur de y_n

à savoir y_n=1500\times (0,9)^n+3000 Ainsi maintenant si l'on veut savoir ce qu'il va se passer dans 20 ans
on peut avoir le résultat directement sans être obligé de passer par les 19 années précédentes.

C'était l'objet de cet exercice.

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 01-04-21 à 23:35

Si je récapitule
Zn=1500 x (0,9)^n
Et
Yn=1500 x (0,9)^n+3000

C'est bien cela?

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et gómétriques 01-04-21 à 23:38

Pour la question 2 b oui

Posté par
clarisse1
re : Suites arithmétiques et gómétriques 01-04-21 à 23:40

Mercii beaucoup pour votre patience

Posté par
hekla
re : Suites arithmétiques et gómétriques 01-04-21 à 23:49

De rien



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