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Niveau Prepa (autre)
Suites avec sinus
Posté par Aggy15
Bonjour !
Je fais appel à vous pour quelques conseils sur un exercice de suite que je fois faire pour la rentrée.
Voici :
Soit la suite (Un) définie pour n
>=sin(n)/(n)1) montrer que la suite est à termes positifs
2) montrer que cette suite est bornée, qu'elle converge, calculer sa limite.
J'ai donc fait un encadrement de la suite en commençant par le sinus et ainsi arriver au théorème des gendarmes : lim(Un) =1
Mais mon problème est de démontrer qu'elle converge, car si elle est bornée, je n'arrive pas à montrer sa monotonie en faisant (Un+1) - (Un)
de plus, comment fait-on pour montrer que cette suite est "à termes positifs" ?
Merci d'avance pour votre aide
Je rectifie car c'est mal écrit :
la suite est définie pour n supérieur ou égal à 1 par (Un) = 1 + (sin(n)/n)
Je l'ai déjà fait, voici ce que ça donne :
-1<sin(n)<1
-1/n< sin(n)/n < 1/n
1-(1/n) < 1 + (sin(n)/n) < 1+1/n
D'où 1-(1/n) < (Un) < 1+1/n
Et ainsi avec le théorème des gendarmes,
Lim(Un)= 1
Ma suite est donc bornée, mais qu'est ce que cet encadrement me donne sur la monotonie de la suite ?
Pourquoi veux tu montrer la monotonie (qui ne peut être démontrée ) alors que le théorème des gendarmes fait l'affaire.
Pour montrer qu'une suite converge :
Si une suite (Un) est croissante et majorée, alors elle converge.
Si une suite (Un) est décroissante et minorée, alors elle converge.
Je sais qu'elle est bornée, je connais sa limite, mais je ne sais pas si elle est croissante ou décroissante ...
Bonjour
Puisque tu connais sa limite, tu sais qu'elle est convergente (comme te l'a déjà dit Razes). Une suite non monotone peut très bien être convergente!