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Suites : calculer 1^3+2^+…+n^3

Posté par Profil Manon75 30-01-21 à 17:45

Bonjour,
J'aurai besoin de votre aide sur cet exercice pour un DM svp
1. Démontrer que pour tout n> où égal à 1, l'aire du domaine jaune délimité par les deux carrés ci-contre est égale à n^3
2. Déduire que : 1^3+2^3+…+n^3=(1+2+…n)^2
( voir photo pour le schéma )

Suites : calculer 1^3+2^+…+n^3

Posté par
matheuxmatou
re : Suites : calculer 1^3+2^+…+n^3 30-01-21 à 18:05

bonjour

ben on attend que tu propose une méthode pour calculer l'aire de la partie jaune

Posté par Profil Manon75re : Suites : calculer 1^3+2^+…+n^3 30-01-21 à 18:10

Je propose pour l'air de la partie jaune : air= Un^2

Posté par
matheuxmatou
re : Suites : calculer 1^3+2^+…+n^3 30-01-21 à 18:11

non.

ça c'est l'aire du grand carré .

Posté par Profil Manon75re : Suites : calculer 1^3+2^+…+n^3 30-01-21 à 18:14

Oui effectivement donc l'aire de la partie jaune c'est : aire=Un^2-(Un-1)^2

Posté par
matheuxmatou
re : Suites : calculer 1^3+2^+…+n^3 30-01-21 à 18:15

exact

peux-tu écrire autrement la somme un=1+2+3+...+n ?

Posté par Profil Manon75re : Suites : calculer 1^3+2^+…+n^3 30-01-21 à 18:18

Oui : 1+2+…+n = (n(n+1))/2

Posté par
matheuxmatou
re : Suites : calculer 1^3+2^+…+n^3 30-01-21 à 18:18

bien

et un-1 ?

Posté par Profil Manon75re : Suites : calculer 1^3+2^+…+n^3 30-01-21 à 18:24

Je suppose que Sn-1=0+1+…+n-1=(n(n-1))/2

Posté par
matheuxmatou
re : Suites : calculer 1^3+2^+…+n^3 30-01-21 à 18:28

très bien

maintenant calcule

u_n^2-u_{n-1}^2 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{n(n-1)}{2}\right)^2

et tu auras l'aire de la partie jaune...

Posté par Profil Manon75re : Suites : calculer 1^3+2^+…+n^3 30-01-21 à 18:34

Merci, donc je trouve finalement n^3, comme cela est écrit dans l'énoncé.
Par contre pour la deuxième partie de l'énoncé je ne sais pas comment m'y prendre

Posté par
matheuxmatou
re : Suites : calculer 1^3+2^+…+n^3 30-01-21 à 18:40

quand tu écris ,pour chaque terme de la somme des cubes , la relation trouvée, cela donne :

n3 = un2 -  un-12
(n-1)3 = un-12 -  un-22
(n-2)3 = un-22 -  un-32
...
...
...
33 = u32 -  u22
23 = u22 -  u12
13 = u12

(la dernière vient du fait que u1=1

quand tu ajoutes toutes ces égalité, à gauche tu trouves la somme des cubes... et à droite ?

Posté par Profil Manon75re : Suites : calculer 1^3+2^+…+n^3 30-01-21 à 18:51

D'accord, je vois je remplace U1^2 par le terme de la gauche au carré et non au cube. Ce qui concorde avec l'énoncé.
Par contre il est écrit sur l'énoncé : =(1+2+…n)^2
Ne serait-ce pas plutôt : = (1+2+…+n)^2 si l'on fait la somme ?

Posté par
matheuxmatou
re : Suites : calculer 1^3+2^+…+n^3 30-01-21 à 18:53

oui, tu as raison, ils ont oublié un signe "+"

Posté par Profil Manon75re : Suites : calculer 1^3+2^+…+n^3 30-01-21 à 18:54

C'est ce qu'il me semblait.
Merci pour votre temps. Bonne soirée

Posté par
matheuxmatou
re : Suites : calculer 1^3+2^+…+n^3 30-01-21 à 18:56

pas de quoi



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