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suites : convergence...
Bonjour, je n'arrive pas à avancer dans cet exercice........
merci de me sauver !
merci d'avance
On a U(n)= sin(1/n^2) + sin2/n^2) + …… + sin(n/n^2)
et V(n)= (1/n^2) + (2/n^2) + …… + (n/n^2)
1°) Démontrer que la suite V converge vers ½
2°) a] démontrer que ces fonctions ne prennent que des valeurs positives
ou nulles sur [0 ; +l'infini[ :
f(x) = x - sin x
f(x) = -1 + (x^2/2) + cos x
f(x) = - x + (x^3/6) +sin x
On pourra utiliser les variations de chacune de ces 3 fonctions.
b] Justifier que pour tout n >= 1,
1^3 + 2^3 + …….. + n^3 =< n^4
déduire du a] l'inégalité :
V(n)-(1/6) * (1/n^2) =< U(n) =< V(n) pour tout entier naturel n non nul
C] Démonter que la suite U est convergente ; quelle est sa limite ?
1°)
V(n) = (1/n²).(1 + 2 + 3 + ... +n)
avec 1 + 2 + 3 + ... n la somme de n termes en progression arithmétique
de raison 1 et de premier terme = 1 ->
V(n) = (1/n²).n.(n+1)/2
V(n) = (n+1)/(2n)
lim(n->oo) V(n) = lim(n->oo) [(n+1)/(2n)] = 1/2.
---
2°)
a]
f(x) = x - sin(x)
f '(x) = 1 - cos(x)
-> f'(x) >= 0 pour x dans ]0 ; oo[ puisque -1 <= cos(x) <= 1
f(x) est croissante et f(0) = 0 -> f(x) >= 0 pour x dans ]0 ; oo[
---
f(x) = -1 + (x^2/2) + cos x
f '(x) = x - sin(x)
Par l'exercice précedent : f '(x) >= 0 -> f(x) croissante.
f(0) = -1 + 0 + 1 = 0
f(x) est croissante et f(0) = 0 -> f(x) >= 0 pour x dans ]0 ; oo[
---
f(x) = - x + (x^3/6) +sin x
f '(x) = -1 + x²/2 + cos(x)
et par l'exercice précédent : f '(x) >= 0 -> f(x) croissante.
f(0) = 0 + 0 + 0 = 0
f(x) est croissante et f(0) = 0 -> f(x) >= 0 pour x dans ]0 ; oo[
-----
b]
1³ + 2³ + ... + n³ <= n³ + n³ + ... + n³
puisque chaque termes du membre de gauche est <= au terme correspondant du
membre de droite.
1³ + 2³ + ... + n³ <= n³ * n
1³ + 2³ + ... + n³ <= n^4
---
On a montré que
f(x) = x - sin(x) >= 0
->
1/n² - sin(1/n²) >= 0
2/n² - sin(2/n²) >= 0
...
en faisant la somme des lignes précédentes ->
1/n² - sin(1/n²) + 2/n² - sin(2/n²) + ... + n/n² - sin(n/n²) >= 0
1/n² + 2/n² + ... + n/n² - (sin(1/n²) + sin(2/n²) + ... sin(n/n²)) >=0
V(n) - U(n) >= 0
U(n) <= V(n)
... A toi pour montrer V(n)-(1/6) * (1/n^2) =< U(n)
----
On aura alors:
V(n)-(1/6) * (1/n^2) <= U(n) <= V(n)
lim(n->oo) [V(n)-(1/6) * (1/n^2)] <= lim(n->oo) U(n) <= lim(n->oo) V(n)
lim(n->oo) [V(n)] <= lim(n->oo) U(n) <= lim(n->oo) V(n)
Et donc lim(n->oo) [V(n)] = lim(n->oo) U(n)
lim(n->oo) U(n) = 1/2
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Sauf distraction.
haa monsieur jp je vois que j'ai ete modere desole si je vous
ai parut un peu agressifdnas mes autres messages mais je connais
l'auteur du msg ( nicolas) il est dans ma classe et bon je trouve
qu'il aurait pu chercher u peu plus l'exo en question .
Car je viens de le faire ce matin ...
Nico ça va saigner !!!!!!!ps pour le 2b nico tu es inexcusable ton cour
de spé
LA SOMME DE N TERMES EST INFERIEURS A N FOIS LE PLUS GRAND ET SUPERIEUR
A N FOIS LE PLUS GRAND ... c'est tout con
superieur a n fois le plus petit ...
pardont
C'est pas J-P, c'est moi qui ai modéré tes messages.
Effectivement, c'est un forum tout public, donc il vaut mieux éviter les insultes,
même s'il s'agit d'un copain de classe que tu connais
bonjour à tous
j'ai réussi a trouver que un<= vn mais après je bloque pour arriver à démontrer que vn - (1/6) * (1/n²)<=un !! merci de pouvoir m'aider
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