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Suites de Cauchy

Posté par
RaphouFou 16-09-18 à 11:40

Bonjour, j'ai quelques difficultés à montrer qu'une suite est de Cauchy !
Voilà l'énoncé de mon exercice :

On considère la suite complexe (u_n)_n définie par u_0=1+i et u_{n+1} = \frac12(u_n+i), n \in \mathbb{N}.
1)En supposant que (u_n)_n converge, quelle serait sa limite l ?
2)Montrer que (u_n)_n converge.

Pour la 1, j'ai injecté l, ce qui me donne :
l=\frac12(l+i)
l=i

Pour la 2 j'aimerais montrer qu'elle est de Cauchy mais je ne sais pas si j'ai bien commencé...
J'ai fait :

|u_{n+k}-u_n| = \frac12|u_{n+k-1}-u_{n-1}| (je vous passe les calculs)
J'aimerais bien majoré ceci par quelque chose qui tend vers 0...

Merci de votre aide !

Posté par
luzakre : Suites de Cauchy 16-09-18 à 11:57

Bonjour !
Plus simplement, en posant v_n=u_n-i tu as une suite géométrique.

Mais ton calcul, même si laborieux, est utilisable :
Tu as dû démontrer u_{n+1}-u_n=\dfrac12(u_n-u_{n-1}) d'où, par récurrence,u_n-u_{n-1}=2^{-n}(u_1-u_0) et tu as ta suite de Cauchy par télescopage en calculant u_{n+p}-u_n.

Posté par
RaphouFoure : Suites de Cauchy 16-09-18 à 12:31

Merci luzak !


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