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suites de fonctions et convergence(dernier)
Bonjour à tous, je termine cette série par un dernier exercice afin d'asseoir définitivement les bases de ce chapitre...
voici mes réponses:
Merci de votre aide pour cette derniere question.
et bien je pensais que x^n->+oo pour n->oo
ahh oui,mais pour 1 c'est 1/2!! c'est ça donc ça converge simplement vers f(x)=0 sixdifférent de 1 et 1/2 si x=1
non?
pour x dans ]1,2] c'est vers 1 que ça converge simplement non?
OK !
et lorsque x est dans [0,1[ (car tu semblais ne pas distinguer les cas selon que x était inférieur à 1 ou supérieur à 1).
Kaiser
dans [0,1[ ça converge vers 0...n'est-ce pas?
donc on a fn->f ou f est définie par
1/2 si x=1
0si x<1
1si x>1
correct?
alors la ça change des choses!!
et bien le raisonnement que j'avais fais est juste me semble t-il mais il faut distinguer selon que a>=1 et 0<a<1
si a>=1 il n'y a pas CVU.
si 0<a<1 il y a convergence uniforme.
et pas de CVU sur [0,2].
exact?
Re,
pour les intervalles du type [0,a],le sup est atteint en 0 donc vaut 1, il n'y a pas convergence uniforme.
Non?
la dérivée reste la meme non?
sur [0,a] mais c'est toujours avec a>0 non?
donc le sup sera atteint en 0...je vois pas pourquoi c'est faux(parce que c'est faux si tu poses la question!)
avec 1>a>0,on a le sup qui va valloir 0 =>CVU sur [0,a] avec 1>a>0
et si 1=>a>0,le sup ça va etre 1/2 donc pas CVU
c'est pas ça?
mais en 0, ça vaut 0 ?
(d'ailleurs, le sup de quoi ? peut-être que l'on ne parle pas de la même chose)
Kaiser
bah moi c'est le sup|fn-f| non?
ou f c'est la fonction définie avec la convergence simple.
mais en 0, ça vaut 0 ?
si tu veux dire fn(0)=0 oui,mais quand on sépare les intervalles si tu veux parler du sup je crois que c'est pas pareil...
ouii je suis d'accord.
??
donc ça veut dire que si le sup est atteint en 0,il vaut 0 et y'a CVU.
si oui ok(16:24).
Tu es sûr que tu n'as pas inversé les deux cas ?
Autre chose ; tu oublies les intervalle du type [a,b] avec a > 0 et b < 1.
Kaiser
les deux cas?
a vrai dire j'essaie de m'y retrouver,je crois que c'est ça.
je poursuis ce que je disais:
les deux cas?
regarde ton message de 17h02,lorsque tu dis qu'il y a convergence uniforme sur [a,2] si et seulement si a est entre 0 et 1.
ça c'est faux.
Kaiser
mais sur [a,2] avec 0<a<1 on distingue deux sous cas je dirais:
en effet: soit 1<x<2 et alors f(x)=1,pas CVU
soit 0<x<1 et alors f(x)=0 et y'a CVU,le sup étant atteint en 2.
bref j'ESPERE que c'est ça.
je ne comprends pas pourquoi tu distingues encore deux sous-cas !
la convergence uniforme c'est sur tout l'intervalle qu'il faut l'étudier.
De plus, on peut tout de suite dire qu'il n'y pas convergence uniforme sur [a,2] si a est inférieur à 1.
Kaiser
......
quand on écrit [a,2] avec a>0
on est d'accord que plusieurs cas sont possibles!
a>0 oui mais a=1,a>1,0<a<1 sont possibles!
si a<1, ça veut dire que x est dans [a,2],0<a<1
ce que je comprend pas c'est la suite de la réflexion!
OK mais j'avais l'impression que tu distinguais des sous-cas, dans le cas a < 1.
Sinon, comme je le disais on peut tout de suite dire qu'il n'y pas convergence uniforme sur [a,2] lorsque a est inférieur ou égal à 1.
En fait, on peut dire mieux : il n'y pas convergence uniforme sur tout intervalle contenant 1.
Kaiser
ta suite de fonction est constituée de fonction continues donc si elle converge uniformément sur un intervalle I, alors la limite est continue sur I.
Mais f n'est continue sur aucun intervalle contenant 1 donc les seuls intervalles sur lesquels il y a éventuellement convergence uniforme sont du type [0,a] avec a < 1 ou [a,2] avec a >1.
Kaiser
ahh oui ok,c'est bon j'ai refait,j'avais oublié un 1...
ok.
pour la suite,on décompose de 0 à 1 et de 1 à 2?
ou bien c'est ça du tout?
et bien en faite dans mon cours j'en ais deux,j'en est d'ailleurs discuter avec otto.
j'ai celui de Beppo-levi avec fn<=f_n+1,avec fn croissante,continue... et puis j'ai l'autre avec la majoration de la valeur absolue par une fonction continue par morceaux.
donc si c'est ceux la oui!
ici, la convergence dominée me parait plus appropriée !
En général, lorsque l'on est sur un segment et qu'il n'y pas convergence uniforme, ça marche assez bien.
Kaiser
ok j'y crois!!
donc convergence dominée (dite piétonne dans mon cours? va savoir pourquoi?)...c'est la deuxieme que je t'ai énoncé que j'utilise ici et alors:
mais f(x) varie la position de x par rapport à 1...
ok non c'est bon,merci encore Kaiser!
c'est ok!
j'en ai fini avec les suites de fonctions,je pense que ce n'était pas un exercice inutile.
Merci à tout à l'heure ou a une prochaine fois.
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