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Suites de matrices
Bonjour,
Exercice :
On considère une population d'êtres unicellulaires. Chacun de ces êtres peut se trouver dans deux états (A et B).
Soient an et bn les effectifs, en milliers, des populations à l'instant n :
95 % des individus se trouvant dans l'état A à l'instant n n'en changent pas à l'instant n+1
80 % des individus se trouvant dans l'état B à l'instant n n'en changent pas à l'instant n+1
Soit M une matrice :
| 0,95 | 0,2 |
| 0,05 | 0,8 |
On pose un =
| an |
| bn |
1) Montrer que Un+1 = M*Un (c'est fait)
2) Pourquoi peut-on conjecturer l'existence d'une mesure stationnaire pour M ?
3) Déterminer cette mesure stationnaire ?
4) En déduire la proportion limite d'individus dans l'état A et dans l'état B
Je bloque pour les questions 2),3),4)
Merci
Pour la 2 tu peux calculer plusieurs Un avec n de plus en plus grand (tente 10, 50, 100...) ou alors si tu l'as vu, dire qu'aucun coefficient de la matrice de transition n'est nul ni supérieur à 1 et donc qu'il y a sans doute un état stationnaire. (la première méthode étant mieux je pense)
salut
2/ provient des propriétés des coefficients de la matrice M
3/ résoudre l'équation U = MU
4/ montrer que Un tend vers U et conclure
....
2) Je ne suis pas sûr : puisque Un+1 = M*Un, alors il existe une mesure stationnaire correspondant à la matrice M car Un est une matrice colonne
3) Comment faire ? Pouvez-vous me donner une piste ?
Parce que je n'ai pas exactement Un = M*Un mais Un+1 = = M*Un
4) Un = U non ?
D'accord !
2) Est-ce que c'est bon ?
3)
Un+1 = M*Un
Un = Mn*U0
(an) (a0 = 0,75)
(bn) = Mn* (b0 = 0,25)
Je bloque !
4) Je ne peux pas continuer puisque je n'ai pas fait la 3)
? 
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