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Suites de nombres 1ère S

Posté par
Ntiooo
21-10-20 à 16:55

Bonjour,
Je travaille actuellement sur un exercice; J'ai une suite Sn=1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n*(n+1))
Désolé pour l'écriture des fractions....
J'ai prouvé que pour tout k supérieur ou égal à 1; 1/(k*(k+1))=1/k - 1/k+1.
Je dois maintenant proposer une formule SIMPLE de Sn pour calculer
1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(99*100).
J'avais établi la formule
Sn+1=Sn+1/(n*(n+1)), mais elle n'est pas simple pour calculer S99 comme demandé....
Merci pour votre aide

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suites de nombres 1ère S 21-10-20 à 17:02

Bonjour,

réécris ta suite en remplaçant chaque terme de la forme 1/(k(k+1)) par 1/k - 1/(k+1), tu vas voir plein de termes se simplifier.

Posté par
carita
re : Suites de nombres 1ère S 21-10-20 à 17:04

bonjour

J'ai prouvé que pour tout k supérieur ou égal à 1; 1/(k*(k+1))=1/k - 1/(k+1).

ce qui est en bleu, tu lui trouves un air de famille avec les termes de ta somme ?
si oui, remplace...

Posté par
carita
re : Suites de nombres 1ère S 21-10-20 à 17:05

ah grilled
bonjour Glapion, je vous laisse poursuivre

Posté par
Ntiooo
re : Suites de nombres 1ère S 21-10-20 à 20:17

Je suis désolé, mais je n'arrive toujours pas à trouver une relation simple, qui pour moi devrait être explicite...

Posté par
carita
re : Suites de nombres 1ère S 21-10-20 à 20:34

en attendant le retour de Glapion

tu as établi cette égalité : 1/(k*(k+1))=1/k - 1/k+1.

mets la en application sur 1/(2*3) = ....?

Posté par
Ntiooo
re : Suites de nombres 1ère S 21-10-20 à 21:21

On remplace, ce qui nous donne 1/2-1/3=1/6, mais ça ne m'aide pas pour la formule?

Posté par
carita
re : Suites de nombres 1ère S 21-10-20 à 21:23

ne calcule pas, garde 1/2 - 1/3

fais pareil pour 1/(1*2) = .....?

puis regarde ce qui se passe quand tu additionnes    1/(1*2)   +  1/(2*3) = .........?

Posté par
Ntiooo
re : Suites de nombres 1ère S 21-10-20 à 21:38

On a 1-1/2+1/2-1/3=2/3

Posté par
carita
re : Suites de nombres 1ère S 21-10-20 à 21:42

le but n'est pas de calculer, mais de modéliser

Ntiooo @ 21-10-2020 à 21:38

On a 1-1/2+1/2-1/3=1 - 1/3

les termes -1/2 et 1/2 s'annulent


si tu ne vois toujours pas, refais la même chose pour n= 3
S3=1/(1*2)  +  1/(2*3)   + 1/(3*4)  = ....

que constates-tu ?
qu'en déduis-tu pour Sn, n quelconque ?

Posté par
Ntiooo
re : Suites de nombres 1ère S 21-10-20 à 21:49

1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4. il ne reste plus que 1-1/4; j'en déduis que pour trouver Sn, je n'ai qu'à utiliser Sn=1-1/n+1?

Posté par
carita
re : Suites de nombres 1ère S 21-10-20 à 21:50

oui, avec les ( )  

Sn=1 - 1/(n+1)

et tu peux simplifier cette expression

Posté par
Ntiooo
re : Suites de nombres 1ère S 21-10-20 à 21:59

Sn=1-1/(n+1)
Sn=(n+1)/(n+1)-1/(n+1)
Sn=(n+1-1)/(n+1)
Sn=n/(n+1)
Merci beaucoup!!
Une dernière question, puis-je prouver cette relation avec quelque chose de concret, un calcul algébrique par exemple?

Posté par
carita
re : Suites de nombres 1ère S 21-10-20 à 22:03

tu démontres en partant de cette écriture  (avec les pointillés)  :  
Sn=1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+........ +   1/((n-1)*n) +1/(n*(n+1))

tu remplaces chaque terme en utilisant l'égalité 1/(k*(k+1))=1/k - 1/k+1, comme tu as fait,
puis tu simplifies : il restera le 1er et le dernier terme,
mise sous dénominateur commun,
et c'est fini.

bonne continuation

Posté par
Ntiooo
re : Suites de nombres 1ère S 21-10-20 à 22:12

Ok merci!
Mais les pointillés ne poseront pas de problèmes? Donc je développe les termes seulement jusqu'à S3, puis directement avec n?

Posté par
carita
re : Suites de nombres 1ère S 21-10-20 à 22:18

non, les pointillés sont utilisés en mathématiques :
il est évident que n étant quelconque, on ne peut pas donner la liste exhaustive de tous les termes entre le 1er et le dernier.

j'ai volontairement rajouté 2 termes intermédiaires à Sn, pour que tu puisses bien montrer la logique de l'annulation des fractions, deux à deux.

donc, sur ta copie, tu vas barrer tous les termes "censés" s'annuler (même s'ils n'y seront pas tous!),
sauf 1er et dernier, donc.

Posté par
Ntiooo
re : Suites de nombres 1ère S 21-10-20 à 22:28

Oui, mais étant donné que je ne calcule pas « tous » les termes entre 1 et n, cela étant impossible, les termes que j'aurai établi et développé ne s'animeront pas convenablement... Par exemple, si je fais Sn=1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+........ +   1/((n-1)*n) +1/(n*(n+1)) , mon terme 1/4, que j'aurai établi avec le troisième terme ne s'annulera pas étant donné que l'on a pas utilisé le terme suivant....

Posté par
carita
re : Suites de nombres 1ère S 21-10-20 à 22:33

oui, c'est pour cela que j'ai écrit (même s'ils n'y seront pas tous!)

si tu montres la logique d'annulation sur suffisamment de termes au début et à la fin,
avec la répétition implicite indiquée par les pointillés,
cela suffit pour l'on comprenne, et pour démontrer ton résultat.

rien ne t'empêche de compléter par une phrase simple ce mécanisme d'annulation des fractions (-1/k + 1/k)

Posté par
Ntiooo
re : Suites de nombres 1ère S 21-10-20 à 22:39

Donc, si je développe S1+S2+S3+...+Sn, je peux prouver ma relation, en expliquant que chaque terme s'annule?
1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...1/n - 1/(n+1)
J'explique que chaque terme s'annule et qu'il reste le premier et le dernier terme, d'où Sn=1-1/n+1
Sn=n/(n+1)
Cela suffirait?

Posté par
carita
re : Suites de nombres 1ère S 22-10-20 à 07:19

Sn=1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+........ +   1/((n-1)*n) +1/(n*(n+1))

j'avais rajouté le terme en bleu, que tu n'as pas  utilisé; tu peux le faire,

mais sinon, c'est ça.
bonne journée !

Posté par
malou Webmaster
re : Suites de nombres 1ère S 22-10-20 à 08:27

bonjour à tous
Ntiooo, peut-on avoir un profil correctement renseigné pour ce compte, car tu postes à tous niveaux ;
de plus le multicompte est strictement interdit sur notre site, donc tu dois fermer le compte Anna91 que tu viens d'ouvrir.
Quand cela est fait, mets un mail à mets un mail à moi ( [lien]) ou à gbm ( [lien] )qu'on te redonne l'accès au site avec le compte Ntiooo

**situation régularisée**



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