ce sont des suites definies par une recurrence lineaire
d'ordre 2.
il y a tout une methode pour ce genre de suites.
on le voit en prepa ou en deug(ex-deug, pardon).
si u(n+2)=a*u(n+1)+bu(n)
on a une equation caracateristique :
r^2=a*r+b
donc r^2-a*r-b=0.
on calcule le discriminant : d=a^2+4b

1er cas d>0
2 racines reelles f,g.
u(n)=v*(f^n)+w*(g^n) ou v et w sont des constantes reelles. u(1) et u(0) permettent de les determiner.

2 cas d=0.
1 racine reelle double f.
2 cas a) f<>0
u(n)=(v+n*w)*(f^n)

2 cas b) f=0
u(n)=v*k(n)+w*l(n)
ou k est la suite de premier terme 1 pour tout n>1 k(n)=0.
et l est la suite de deuxieme terme egal a 1 et l(0)=l(n)=0 pour tout n different de 1.

3 eme cas d<0.
deux racines complexes conjuguees f,g.
p=|f|, t=Arg f.

u(n)=v*p^n*cos(n*t)+w*p^n*sin(n*t)

dans tout mon post v et w sont des constantes reelles qui peuvent etre determinees par u(0) et u(1).

on passe aux exos (post suivant).

1) Un+2 - 4Un = 0 avec U0=1 et U1=0
equation caracteristique :

r^2-4=0.
discriminant d=16
(r-2)*(r+2)=0
donc 2 racines reelles distinctes :
u(n)=v*2^n+w*(-2)^n

u(0)=v+w=1
u(1)=2*v-2*w=0
donc w=1/2
v=1/2

donc u(n)=2^(n-1)-(-2)^(n-1) n>=0.

pour la 2 il faut trouver une suite v(n) construite a partir de u(n) qui nous debarrasse de "sin((nPi)/4)-3+3n"

par exemple pour u(n+1)-2*u(n)=3*n-3 et u(0)=0
si on prend v(n)=u(n)+3*n
v(n+1)=u(n+1)+3*(n+1)
v(n)=u(n)+3*n
on a v(n+1)-2*v(n)=u(n+1)-2*u(n)-3*n+3=0

reste a se debarasser de sin((n*Pi)/4)...
si quelqu'un a une suggestion...