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suites (et barycentres). aidez moi svp !
bonjour à tous ! j'ai un devoir à rendre pour la rentrée et je n'y arrive pas.
voici l'exercice :
(O;
)est un repère orthonormal.
k étant un réel donné, à un point M quelconque on associe le point M' défini de la manière suivante. On projette M en H sur l'axe des abscisses, en K sur l'axe des ordonnées, et on note M' le barycentre de (H;k),(K;1-k).
On note Tk la transformation M
M'.
On note A0 le point de coordonnées (2;1) et on pose :
A1 = Tk (A0)
A2 = Tk (A1)
An = Tk (An-1)
1)Prouvez que les coordonnées (xn;yn) de An sont :
xn = 2kn et yn = (1-k)n.
Déterminez l'ensemble des nombres k tels que chacune de ces suites a une limite réelle.
4) On pose vecteur OSn= vecteur OA0+vecteur OA1+...+vecteur OAn et on suppose que k appartient à l'intervalle ]0;1[.
a) Démontrez que les coordonnées (Xn;Yn) de vecteur OSn sont données par :
Xn = 2(1-kn+1/1-k) et
Yn = [1-(1-k)n+1]/k.
b) Les suites (Xn) et (Yn)ont-elles une limite ?
J'espère que vous pourrez m'aider !
Si M a pour coordonnées (x;y),
H a pour coordonnées (x;0)
et K a pour coordonnées (0;y)
Le barycentre de (H;k),(K;1-k) a pour coordonnées
(kx;(1-k)y).
On peut donc démontrer par récurrence les deux formules donnant xn et yn.
merci pour ton aide Victor !
mais en fait à la question 1, ce dont je n'arrive pas , c'est à prouver le yn. Et je ne comprends pas la question :
Déterminez l'ensemble des nombres k tels que chacune de ces suites a une limite réelle.
Pour la question 4a et b je vais essayer. J'ai des difficultés avec les limites
En fait, yn correspond au (n+1)ème terme d'une suite géométrique de raison 1-k et de premier terme y0=1.
Une suite géométrique de raison k converge ssi k est dans l'intervalle ]-1;1].
Donc kn a une limite réelle ssi k est dans l'intervalle ]-1;1] et (1-k)n a une limite réelle ssi 1-k est dans l'intervalle ]-1;1] ssi k est dans l'intervalle [0;2[.
On en déduit que k doit appartenir à l'intervalle [0;1].
oula d'accord ! lol. j'ai mis du temps à comprendre.
pour la question 4a j'y suis arrivée.
mais pour la question b, comment savoir ces limites ?
Si k est compris entre 0 et 1, kn+1 et (1-k)n+1 ont pour limite 0 donc Xn a pour limite 2/(1-k) et Yn a pour limite 1/k.
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