Annuler
connectez vous
- Arithmétique : divisibilité, PGCD et PPCM, Nombres premiers
- Des mathématiciens célèbres : Fermat et Gauss
- Fonction exponentielle - Fiche de Cours terminale
- Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
- Fiche sur les nombres complexes - terminale
- Limites de fonctions - Cours sur les limites
- Cours sur les suites en Terminale S
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale ArithmétiqueTopics traitant de Arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Suites et congruence
Posté par alpha000000
Bonjour, je suis en difficulté sur la question 3b, impossible de faire la démonstration.
Voici le sujet :
Un est la suite définie par U0 = 14 et pour tout entier naturel n, Un+1 =5Un - 6. Voici une fonction Restes écrite en langage Python (voir les photos) Le paramètre n est un entier naturel non nul.
1a) Expliquer le rôle de cette fonction.
Cette fonction permet d'obtenir les restes de la division par 100 des termes de la suite Un.
b) Saisir et appliquer cette fonction pour n = 20 et n = 21
Restes (20) = 14
Restes (21) = 64
2. a) Démontrer que pour tout entier naturel n, Un+2 est congru à Un modulo 4 .
Un+1 = 5Un -6
Un+2 = 5Un+1 -6 = 5 (5Un -6) - 6 = 25Un -36 = 24 Un -36 + Un = 4(6Un -9) +Un = 4K +Un
Un+2 - Un = 4K
Donc Un+2 est congru à Un modulo 4 .
b) En déduire que pour tout entier naturel k, U2k est congru à 2 modulo 4 et que U2k+1 est congru à 0 modulo 4.
Propriété 1 : U2k est congru à 2
Initialisation : U0 = 7*2 +2 = 14
La propriété est initialisée.
Hérédité : U2k est congru à 2 au rang k :
U2k+2 = 5 U2k+1 -6
= 5 (5U2k -6 ) -6 = 25U2k - 36 = 4 (6U2k -9) + U2k
U2k+2 - U2k = 4 K
Donc U2k +2 est congru à U2k, lui même congru à 2. La proposition est donc heriditaire.
Conclusion : U2k est congru à 2 modulo 4.
Propriété 2 : U2k+1 est congru à 0 modulo 4.
Initialisation : U1 = 16 *4 +0 = 64
Heridité : U2k+1 est congru à 0 modulo 4 est vraie :
D'après 2a, U2k+3 est congru à U2k+1 , lui même congru à 0, la proposition est heriditaire et donc vraie.
3. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 2Un = 5 ^(n + 2) + 3 .
Une récurrence facile ici, que je ne détaille pas.
b) En déduire que pour tout entier naturel n, 2Un est congru à 28 modulo 100
Si 2Un est crongru à 28 modulo 100, alors : 2Un = 100K + 100
2Un = 25 *5n + 3 donc 2Un est congru à 3 modulo 25.
Je n'ai rien fait de plus, étant totalement bloqué.
Merci d'avance de votre aide
c) Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de Un suivant les valeurs de n.
Citation :
non pas exactement ... il faut être plus précis
non pas exactement ... il faut être plus précis
Il faut préciser que ça calcule Un à partir de n, puis que le programme divise Un par 100 et renvoie le reste de cette division ?
3b/ il ne faut pas partir du résultat :
on veut montrer que 2u(n) est congru à 28 modulo 100
calcule proprement 2u(n) ...
Bonjour,
Je me permets de revenir sur la question 2) :
Pour 2)b) qui commence par "En déduire", il faut utiliser 2)a).
Ce qui est plus rapide.
Une fois traité u2k, inutile de refaire une récurrence pour u2k+1.
Utiliser u2k+1 = 5u2k - 6 
5
2 - 6.
PS Une autre fois, commence par donner l'énoncé sans le couper en petits morceaux, suivi de tes recherches.
C'est plus facile de s'y retrouver pour les potentiels aidants 
Ok merci.
Maintenant la question 3c, je ne vois pas comment faire, mais je pense qu'il faut commencer avec la 2b
Tu veux dire la 3)b) sans doute.
Je pense qu'on peut traiter 3)c) en admettant le résultat de 3)b).
Pour 3)b), récurrence non nécessaire pour démontrer que 2un - 28 est un multiple de 100.
carpediem @ 30-01-2022 à 12:58
il faut utiliser la question 2/ ...
il faut utiliser la question 2/ ...
Non je parlais bien de la 3c, la 3b ) :
Initialisation : 5^ (2+0 ) = 25
La propriété est initialisée.
Hérédité : Si 5 ^(n+2) = 100k +25
Alors 5 ^(n+2) * 5= (100k +25 ) *5
5^(n+3) = 500k +100 +25
5^(n+3) = 100 (5k+1) + 25
5^(n+3) = 100 A +25
Heriditaire
Conclusion : 5 (n+2) congru à 25 modulo 100
Comme 3 congru à 3 modulo 100, Un congru à 28 modulo 100.
Je n'ai pas été claire :
Citation :
Maintenant la question 3c, je ne vois pas comment faire, mais je pense qu'il faut commencer avec la 3b
Maintenant la question 3c, je ne vois pas comment faire, mais je pense qu'il faut commencer avec la 3b
Ta récurrence fonctionne, mais on peut s'en passer.
Pour démontrer que 2un - 28 est un multiple de 100, il suffit de démontrer que 2un - 28 est un multiple de 25 et un multiple de 4.
Ok donc je commence par dire que Un = 100k +28
100k est congru à 0 modulo 0, et N à N modulo 4, donc Un est congru à N modulo 4.
Si n = 2k :
Un congrus à 2 modulo 4 (q 2a) donc N congru à 2 modulo 4.
Si n = 2k+1
Un congru à 0 modulo 4, donc N congru à 0 modulo 4.
Là, je suis larguée.
Tu cherches à démontrer quoi ?
N ??
Je ne vais plus être disponible.
Je te conseille de faire une petite pause avant de reprendre.
Bon même moi avec le recul, je ne sais plus ce que je voulais dire ...
Du coup q 3b) : 2 Un = 100k +28
Un = 50k +14
Mais après ....
Citation :
il suffit de démontrer que 2un - 28 est un multiple de 25 et un multiple de 4.
il suffit de démontrer que 2un - 28 est un multiple de 25 et un multiple de 4.
2un = 25
5n+ 3.
Donc 2un -28 = ...
U2k congru à 2 modulo 4 donc, 2Uk congru à 0 modulo 4.
U(2k+1) congru à 0 modulo 4, donc 2U2k+1 congru à 0.
Donc 2Un congru à 0 modulo 4.
28 congru à 0 modulo 4 donc
2Un -28 congru à 0 modulo 4.
Donc 2 Un congru à 28 modulo 4
2 Un congru à 28 modulo 25.
Par contre pour repasser à 100 après
4 et 10 divisent 60, mais 410 ne divise pas 60.
Pour passer de "a et b divisent c" à "le produit ab divise c", il faut un petit quelque chose sur a et b.
Donc nickel on a démontré que 2Un est congru à 28 modulo 100.
Du coup pour la 3c, 2Un = 100 k + 28
Un = 50k +14
Or si n = 2k, Un = 4d + 2 = 50k +14
Et si n = 2k+1, Un = 4d = 50k +14
Donc pour la c il faut démontrer que si n est pair, Un se finit par 14 et s'il est impair il se finit par 64.
Donc on sait que si n est pair, il vaut 2k, or U2 est congru à 2 modulo 4, et que n=2k+1, il est impair, et donc qu'il congru à 0 modulo 4.
Mis à part ceci, je n'ai rien de plus.
Déjà, on peut savoir par quoi se termine 50k+14 selon que k est pair ou impair.
Ensuite, selon que k est pair ou impair, on peut trouver à quoi 50k+14 est congru modulo 4.
Et donc, encore utiliser 2).
Citation :
Or si n = 2k, Un = 4d + 2 = 50k +14
Et si n = 2k+1, Un = 4d = 50k +14
Attention, tu as utilisé la même lettre k pour désigner deux entiers qui n'ont aucune raison d'être égaux.Or si n = 2k, Un = 4d + 2 = 50k +14
Et si n = 2k+1, Un = 4d = 50k +14
Citation :
on peut savoir par quoi se termine 50k+14 selon que k est pair ou impair.
Qu'en penses-tu ?on peut savoir par quoi se termine 50k+14 selon que k est pair ou impair.