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suites et convergence vers l
Bonjour, j'ai un exercice de dm sur lequel je bloque.
Je vous poste le sujet ainsi que mes réponses apportées.
Merci d'avance de votre aide. 
On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par :
𝑓(𝑥) =
Soit 𝑎 un réel positif.
On définit la suite (Vn) pour tout entier naturel 𝑛 par :
V0 = a
Vn+1 = f(Vn)
Le but de l'exercice est d'étudier le comportement de la suite (Vn) lorsque 𝑛 tend vers +∞, suivant différentes valeurs de son premier terme.
1) À l'aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de la suite (Vn) lorsque 𝑛 tend vers +∞ pour 𝑎 = 2,9 puis pour 𝑎 = 3,1.
Avec a = 2,9 on conjecture grâce à la calculatrice, que (Vn) converge vers 1 quand n tend vers l'infini. Avec a = 3,1 la suite (Vn) converge vers 
quand n tend vers l'infini.
2) Pour cette question, on suppose que la suite (Vn) converge vers un réel 𝑙.
Déterminer, en justifiant, une équation vérifiée par 𝑙 et en déduire les valeurs possibles de la limite de la suite (Vn) lorsqu'elle converge.
Je ne sait pas comment m'y prendre car on a vaguement parlé de 𝑙.
3) Dans cette question, on suppose que 𝑎 = 2,9.
a) a) Dresser, en justifiant, le tableau de variations de 𝑓 sur ℝ.
Vu que a > 0, f est décroissante puis croissante de - à +
b) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel 𝑛, on a 1 ≤ Vn+1 ≤ Vn.
Initiatlisation:
on a V0 = a = 2,9 et Vn+1 = f(Vn) = 2,805
donc 1 <= 2,805 <= 2,9 donc P0 est vraie
Hérédité:
montrons que Pn+1 est aussi vraie (1<= Vn+2 <= Vn+1)
On a 1<= Vn+1 <= Vn par hypothèse de récurrence.
donc f(1) <= f(V1) <= f(V0)
donc 1 <= Vn+2 <= Vn+1
Donc Pn+1 vraie.
c) En déduire que (Vn) est convergente et déterminer sa limite.
On a prouvé au b) que (Vn) est minorée par 1 et qu'elle est décroissante car 1 <= Vn+1 <= Vn.
Donc (Vn) est décroissante et minorée, et donc convergente.
4) Dans cette question, on suppose que 𝑎 = 3,1.
a) À l'aide des questions précédentes, montrer que la suite (Vn) n'est pas majorée.
b) En déduire le comportement de la suite (Vn) lorsque 𝑛 tend vers +∞.
Même n'ayant pas su répondre à la question précédente, j'avais trouvé avec la calculatrice que (Vn) tend vers l'infini.
c) On considère l'algorithme suivant :
P 0
U ...
Tant que ... :
P ...
U ...
Fin tant que
Compléter cet algorithme pour qu'il calcule le plus petit rang 𝑝 pour lequel 𝑣p > 10p et déterminer ce rang à l'aide de la calculatrice.
oui mais écris ce que ça veut dire concrètement et fais tendre n vers l'infini pour obtenir l'équation demandée
Ah oui d'accord...
et pour ensuite trouver les valeurs de limite possibles, est-il possible de le faire en prenant en compte que c'est un polynôme du second degré ?
oui, dis moi ce que tu trouves je te dirai si c'est bon ou pas
pour les variations de f, la valeur de a ne joue aucun rôle (je crois que tu parles du coefficient du terme en x² lorsque tu écris a>0 mais attention, ici a est un paramètre différent de ce que tu as habituellement)
et donc faudrait dire sur quel intervalle f croît ou décroît..
au départ, je voulais calculer delta, et je trouve qu'il n'a aucune solution, donc la variation se ferait en fonction du signe de a, mais comme tu me dis qu'il faut trouver l'intervalle sur lequel f varie..
f va donc je pense décroitre sur ]-infini;
] et croitre sur [;+infini[
sachant que s'annule avec 
non ?
delta n'a aucune solution? que veux-tu dire par là?
et puis même sans passer par le discriminant, ton argument est bon, puisque le coefficient en x2 est positif, f décroit puis croît et ton
que vaut ici (à ne pas confondre avec a) ? que vaut b ?
les solutions racines que tu évoques sont celles de l'équation établie pour la question 2 ou de la fonction f elle même?
attention aux notations, le quotient calculé était noté beta chez moi et non alpha mais le calcul est correct
quelles sont donc les variations de f?
pourquoi alpha = 1/2?
il se calcule bien par -b/2a ?
Mise à part ça, on peut dire que les limites sont dans ces intervalles ?
c'est simplement ton cours
oublie le contexte de l'exercice (notamment pour la valeur de a):
considère une fonction f défini par dans le cas où a est non nul
pour étudier les variations de cette fonction, tu t'intéresses au signe de a et à l'abscisse du sommet de la parabole que tu obtiens par et suivant le signe de a la fonction est soit d'abord croissante puis décroissante soit d'abord décroissante puis croissante.
ici (si on oubliait que a est défini par u0=a), on aurait que a=1/2 b=-1 et c = 3/2 donc on peut calculer
en revanche, comme a est déjà défini, j'avais choisi de considérer avec un
à la place de a et il ne s'agissait pas donc de ressortir une formule du cours (qu'il faudrait d'ailleurs apprendre avec le contexte puisqu'ici dès que je change un peu le contexte tu es perdu)
donc on a bien =1/2, b=-1 et c = 3/2
et on peut calculer
je n'ai pas vraiment respecté les notations du cours, c'est peut-être pour cela que tu es un peu perdu mais si tu ne comprends toujours pas, je peux te réexpliquer en m'adaptant avec les notations du cours
avec les notations de ton cours où a est non nul et on a le sommet de la parabole qui a pour coordonnées (
,).
tu sais que pour les variations de f, il suffit de connaitre le signe du coefficient en x², c'est-à-dire le signe de a:
s'il est positif, f décroît sur ]-,] puis croît sur [,+[ avec et l'inverse si a est négatif (
étant l'abscisse du sommet de la parabole)
dans ton exercice, on définit a par donc on ne peut pas écrire que f(x)=ax²+bx+c puisque ici le coefficient en x² est 1/2 et non pas a=2.9 !!
c'est pourquoi j'avais choisi de noter le coefficient devant x² et je notais l'abscisse du sommet de la parabole alors que dans ton cours est l'abscisse du sommet de la parabole et non pas
il suffit juste de s'adapter aux notations introduites et il ne faut pas juste apprendre les formules que tu as ressorti (puisque en fonction de l'énoncé, tu vois bien que ça ne marche pas toujours comme on le souhaite)
dis toi donc qu'il faut s'intéresser au coefficient en x² et aux coordonnées du sommet de la parabole plutôt que d'apprendre "bêtement" des formules, ça te sera plus utile de l'apprendre de la sorte !
maintenant pour en revenir au problème tu as f décroit sur ]-,1] puis croît sur [1,+[
tu connais les limites en 
et il te suffit de calculer f(1) pour les variations de f
et sinon je ne vois toujours pas de quelles limites tu parles
s'il s'agit des réponses de la question 2 tu avais obtenu qui peut se réécrire
et il suffit de déterminer les deux racines de cette équation pour avoir les limites éventuelles de
Je parlais des limites que l'on pouvait obtenir avec l'équation de l
Comment as-tu transformé l en un polynome ?
pourtant c'est la bonne méthode
isoler les x (on peut se débarrasser des fractions en multipliant par 2 mais pas indispensable) puis calculer les racines de l'équation avec la méthode que l'on souhaite..
j'arrive pas à trouver le -4.
Malgré ça :
les solutions de l'équations sont
delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*1*3 = 4
donc 2 racines
l1 = 1
l2 = 3
donc les limites que peut prendre la suite sont 1 et 3.
bah pourtant en multipliant par 2 on a puis en mettant tout du même côté on a bien
une suite ne prend pas de limite mais une suite tend vers une limite, mais oui les limites éventuelles sont bien 1 et 3.
pour les variations de f c'est bon avec ce que l'on a vu précédemment
pour ta récurrence, ton initialisation est ok
mais pas ton hérédité
tu pars de
comment faire pour obtenir l'inéquation voulue ?
Pour arriver à cela, j'avais fait :
On a 1<= Vn+1 <= Vn par hypothèse de récurrence.
donc j'ai remplacé grâce à Vn+1 : f(1) <= f(V1) <= f(V0)
donc 1 <= Vn+2 <= Vn+1
Ce n'est pas comme ça ?
comment à partir de f(V1) tu arrives à vn+2 et de f(V0) à vn+1 ?
tu sais juste que
il faudra utiliser f comme tu l'as fait mais f est-il croissant quand on l'applique ici?
oui je voulais faire f(1) <= f(Vn+1) <= f(Vn)
f est décroissant ici car on montre ici que Vn+1 <= Vn
non ceci veut simplement que dire que vn décroît
ton inégalité est vraie si f est croissante là où tu l'appliques.
quelles sont les variations de f ? les quantités étudiées sont plus grandes ou plus petites que 1 ?
attention à ce que tu as écrit f décroit sur
ici on a des quantités plus grande que 1 donc que peux-tu dire du sens de variation de f?
Je bloque..
Sachant que ce que j'ai fait précédemment ne marche pas
et que là, il faut conclure avec les variations de f, en tenant compte de l'hypothèse de récurrence de départ..
à partir de pour pouvoir écrire
, il faut que f soit croissante.
si f était décroissante
ici f est .... donc
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