Exercice 1.

1)
a)
y = C.e^(-x)   avec C une constante dans R.
-----
b)
y = 1 - z(x).e^(-x)
y' = -z'(x).e^-x + z(x).e^(-x)

y' + y = -z'(x).e^-x + z(x).e^(-x) +  1 - z(x).e^(-x)
y' + y = -z'(x).e^-x +  1

A identifier avec:
y' + y = 1 - e^(-x)

-> z'(x) = 1
z(x) = x.

Une solution particulière de E est : y = 1 - x.e^(-x)
-----
c)
L'ensemble des solutions de E est:
y = C.e^(-x) + 1 - x.e^(-x)    avec C une constante dans R.
-----
d)
g'(x) = C.e^(-x) - e^(-x) + x.e^(-x)
g'(0) = C - 1 = 0
C = 1.

La solution particulière de g de (E) vérifiant la condition initiale
g'(0)=0 est :

g(x) =  e^(-x) + 1 - x.e^(-x)
----------
Sauf distraction.  

Exercice 2.

1)
Z1 = 16000 + 2100*20 = 58000
Z2 = 16000 + 2100*30 = 79000
Z3 = 16000 + 2100*40 = 100000
Z4 = 16000 + 2100*50 = 121000
Z5 = 16000 + 2100*60 = 142000

On a Z(n+1) = Z(n) + 21000
Les CA des 5 magasins forment une suite arithmétique de raison = 21000
et de premier terme = 58000

S est la somme de 5 termes en progression aritmétique de raison = 21000
et de premier terme = 58000.

S = (5/2).(2*58000 + (5-1).21000)
S = 500000
-----
2)
V = Z/X
V = (16000/X) + 2100

(Pour le quadrant: avec un système d'axe ayant X comme axe des abscisses
et V comme axe des coordonnées, le plan se divise en 4 zones, la
zone au dessus à droite est le premier quadrant, celui où V et X
sont > 0).

Etude des variation de la fonction V(X) = (16000/X) + 2100 pour X compris
dans ]0 ; oo[

V(X) = (16000/X) + 2100
V'(X) = -(16000/X²)

V'(x) < 0 pour x dans ]0 ; oo[ -> V(x) est décroissante.

Il reste à dessiner la courbe représentant V(x) (par exemple pour X
dans [10 ; 80])  et de repérer les points de la courbe correspondant
aux 5 magasins.
-----
Sauf distraction.  

Bonjour Jp

Merci pour ta réponse, cepdt j'ai constaté une erreur ( de ma part
) et à cause de cette ptite erreur ça fausse qq résultats.

Pour le calcul de la somme, on sait que le 1er terme est 58 000 , mais
pour la raison suite à mon erreur, tu as indiqué
" S est la somme de 5 termes en progression aritmétique de raison =
21000 et de premier terme = 58000 "

S = (5/2).(2*58000 + (5-1).21000)
S = 500000

=> L'erreur que je t'ai donnée ds l'énoncé c'est
pr r = 21000, non en fait si on reprends l'expression Z= 16000
+2100X
Donc tu es ok avec moi que r = 2100.
Et donc le résultat de la somme change et la j'arrive po a trouver
le meme resultat avec 2 formules.

Formule 1) => U1+Un/2 *n donc 58000+142000/2*5=500 000 (rqm c  le mm resultat
que toi avec l'erreur mais bon)

Formule 2) S=n(2a+(n-1)*r)/2 soit S=5(2*58000+(5-1)*2100)/2 =311000.

Alors avec r =2100 et u1 = 58000 quel est le bon résultat ?

Autre question : y+y'=0 , ensemble des solutions est  :
y = C.e^(-x) avec C une constante dans R.

j'ai revu ma reponse mais j'arrive po a faire le détail.

Merci. j'aurais un autre énonce à te proposer mais comme il est long
je l'enverrais cet aprem.
A+
Nathalie

Nath63

Du dis:

=> L'erreur que je t'ai donnée ds l'énoncé c'est
pr r = 21000, non en fait si on reprends l'expression Z= 16000
+2100X
Donc tu es ok avec moi que r = 2100.
----

Non, je ne suis pas d'accord.

Avec Z=16000+2100X

On a pour les magasins de 1 à 5:

Z1 = 16000 + 2100*20 = 58000
Z2 = 16000 + 2100*30 = 79000
Z3 = 16000 + 2100*40 = 100000
Z4 = 16000 + 2100*50 = 121000
Z5 = 16000 + 2100*60 = 142000

La raison de cette suite arihmétique est la différence de 2 termes consécutifs
de la suite (cette différence doit être ma même quels que soient
les 2 termes consécutifs choisis)

La raison = Z2 - Z1 = 79000 - 58000 = 21000
(on trouve pareil si on fait Z3 - Z2 ou Z4 - Z3 ou Z5 - Z4)

La raison de la suite des Zn est bien 21000 et pas 2100.

Oui, en effet, comme c'est une suite arithmétique de raison
r =21000, j'ai bien refais le calcul et comme tu dis oui on
passe de 58000 à 79000 en ajoutant 21000, donc pr la somme des termes
on a bien S=500 000.

Tu pourras me donner le détail pour y'+y= 0 car ça serait bien
que je fasse la démo sur ma copie...

Bon, voici un autre énoncé , je suis gatée 3 exos pr mon devoirs
Merci bcp par avance Jp pour ton aide car je te demande bcp



Une entreprise se livre, avant à la commercialisation d'un produit
sur un marché à une étude concernant l'évolution des quantités
Qn d'article à produire.
Elle prévoit un côût global de la production à la date n+1 :
c n+1 = 40 (- Qn +500 )  (en Frs)  et un prix de vente unitaire de
160 F.

Si Qn représente la quantité d'articles produits et vendus à la
date n.

1) Ecrire la recette totale Rn à la date n , en fonction de Qn.

2) Ecrire en fonction de Qn la relation vérifiée par la suite Bn = Rn
- Cn où Bn est le bénéfice réalisé à la date n.
En déduire la relation de récurrence vérifiée par la suite (Qn) , dans
l'hypothese d'un bénéfice nul à la date n.

3) On se propose d'étudier l'évolution des quantités d'articles
à produire , toujours dans l'hypothese de la 2eme question,
soit encore la convergence de la suite (Qn), de 1er terme noté Qo.

a) Montrer que la suite (u n) définie par  : u n = Qn -100, n €
N est une suite géométrique, préciser son terme et sa raison.

b) Exprimer u n en fonction de Qo et de n.
En déduire la limite de la suite(Qn) qd n tend vers l'infini.

c) Déterminer le point fixe de la suite Qn, soit le nombre réel I, tel
que la suite Qn définie par Qn=I, quel que soit n € N, vérifie
la relation exprimée à la 2eme question.

Merci
A+
Nath

Pour en finir avec les exercices du début:

y' + y = 0

avec y' = dy/dx

dy/dx + y = 0
dy/dx = -y
dx = -dy/y

On intègre ->
x = K -ln(y)

K étant une constante, on peut poser K =  ln(C)
->
x = ln(C) - ln(y)
x = -ln(y/C)
-x = ln(y/C)
e^(-x) = y/C
y = C.e^(-x)
-------------

Nath63,

Sauf distraction de ma part, il manque une donnée dans ton dernier problème.
C'est le prix de vente des articles.
---
Sans cela il est impossible de même répondre à la première question.
  

pr le prix de vente des articles, le seul montant que j'ai ,
c'est
PRIX DE VENTE UNITAIRE 160 Frs, sinon je n'ai po d'autres montants
indiqués, ds l'enoncé. Bon, jy repense pdt le we car la tite
Nath fatigue et donc les maths pioufffff
Bon we à toi Jp et merci
A bientot
Nath

Fichtre, je n'avais pas vu le prix unitaire, je fatigue.

Hihi tu vois tu es comme moi, les maths ça fatigue graaaave !!! mais
bon j'aurais pu aussi oublier de te le dire étant donné la longueur
du pb..
Bon courage qd meme..
Bon we et reposes toi bien
A+
Nathalie

Dernier exercice.

1)
R(n) = 160.Q(n)
-----
2)
C(n+1) = 40(500 - Q(n))

Si B(n+1) = 0, alors R(n+1) = C(n+1)
160.Q(n+1) =  40(500 - Q(n))
Q(n+1) = 125 - (1/4).Q(n)
-----
3)
a)
U(n) = Q(n) - 100
U(n+1) = Q(n+1) - 100
U(n+1) = 125 - (1/4).Q(n) - 100
U(n+1) = 25 - (1/4).Q(n)
U(n+1) = -(1/4).(Q(n) - 100)
U(n+1) = -(1/4).U(n)

Et donc Un est une suite géométrique de raison = -1/4 et de premier
terme U(0) = Q(0) - 100 = 0 - 100 = -100.
---
b)
U(n) = -100*(-1/4)^n

Q(n) = U(n) + 100
Q(n) = 100 - 100*(-1/4)^n

lim(n->oo) Q(n) = 100
---
c)
Q(n+1) = 125 - (1/4).Q(n)
On aura Q(n+1) = Q(n)   pour Q(n) = 100
-----
Sauf distraction.  

Salut Jp !

Avec un peu de retard, je te remercie de toute ton aide pour mon devoir
sur les équations différentielles et les suites...
Je voulais te  le dire plutot mais ça fait 10 jours que j'ai la
creve et là ça commence à aller mieux alors me suis dis qu'il
fallait que j'aille t 'écrire un ptit mot de remerciement
:p
Maintenant, il reste à mette tout ça au propre et d'attendre le résultat,
qui bien sur te sera donné
Bon courage
A bientot Jp
Amitiés à toute l'Ile des Maths  
Nathalie