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Suites et exponentielle

Posté par
Adrien39
21-01-19 à 19:09

Bonjour,

Je dois calculer la limite de cette suite mais je n'y arrive pas. Merci pour votre aide !

Un Un = \frac{1-e}{n(1-e^{\frac{1}{n}})}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites et exponentielle 21-01-19 à 19:23

Bonjour,
Seul le dénominateur pose problème.

v_{n} = n(1-e^{\frac{1}{n}}) = \large \frac{e^{0}-e^{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}}

Posté par
Alishisap
re : Suites et exponentielle 21-01-19 à 19:24

Bonjour,

quand on a aucune idée sur comment démarrer ce genre de question, aller sur un logiciel comme GeoGebra, faire apparaître la courbe représentative de x\mapsto \dfrac{1-e}{x(1-e^{1/x})} et voir ce qu'il se passe (diverge ? Converge ?)

Indice : e\approx 2.71828182846

Posté par
Alishisap
re : Suites et exponentielle 21-01-19 à 19:25

Bien entendu, il faut entendre mes "diverge ? Converge ?" au sens de la suite, une fonction qui converge/diverge cela n'a aucun sens...

Posté par
alb12
re : Suites et exponentielle 21-01-19 à 21:20

salut,
si on s'autorise l'usage d'un logiciel, autant lui demander la limite

Posté par
Alishisap
re : Suites et exponentielle 21-01-19 à 21:47

Certes, mais c'est un bon exercice (je trouve) d'essayer de deviner "de visu" la limite. Celle-là on peut la deviner facilement (pour peu qu'on sache e\approx 2,71...)

Posté par
alb12
re : Suites et exponentielle 21-01-19 à 21:50

ok on peut aussi tout simplement donner à x de grandes valeurs

Posté par
Adrien39
re : Suites et exponentielle 21-01-19 à 22:14

Est-ce que cela tend vers + infini ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites et exponentielle 22-01-19 à 08:13

Non. Quel rapport avec une valeur approchée de e ?
Commence par chercher la limite de vn .
Pour la conjecturer, tu peux suivre le conseil de alb12 :

Citation :
on peut aussi tout simplement donner à x de grandes valeurs

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suites et exponentielle 22-01-19 à 12:19

Le plus simple était quand même l'idée de Sylvieg
il suffit de voir un accroissement de la fonction -ex en 0 dans \large \frac{e^{0}-e^{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites et exponentielle 22-01-19 à 17:44

Oui, ou encore plus simple avec \large -\: \frac{e^{\frac{1}{n}}-e^{0}}{\frac{1}{n}-0} .

Posté par
carpediem
re : Suites et exponentielle 22-01-19 à 18:00

salut

alb12 @ 21-01-2019 à 21:20

salut,
si on s'autorise l'usage d'un logiciel, autant lui demander la limite
certes ... mais ce n'est pas un travail personnel

on peut donc s'inspirer d'un logiciel pour savoir vers quoi se diriger (limite infinie, finie, ...) et produire personnellement une réponse exacte (une preuve)

Posté par
alb12
re : Suites et exponentielle 22-01-19 à 19:19

Adrien39 se fait rare

Posté par
Alishisap
re : Suites et exponentielle 31-01-19 à 13:34

Sylvieg

Citation :
Non. Quel rapport avec une valeur approchée de  e  ?

Donc, si on trace la courbe de la fonction sur un logiciel, qu'on lui demande de donner une grande valeur, le logiciel ne va donner qu'une valeur approchée.
Mais, si on regarde attentivement cette valeur approchée et qu'on connaît une approximation de e, et bien on peut facilement conjecturer la valeur exacte de la limite.

Il est là le rapport.

Bien entendu, cela n'a pas valeur de démonstration, mais on sait où on va. Je pense que c'est une bonne habitude à prendre car sur des suites simples comme celles-là on peut calculer directement la limite comme tu l'as fait Sylvieg, mais sur des cas complexes il est bon d'engranger un maximum d'informations sur ce qu'on cherche.

Ce n'est qu'un point de vue.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites et exponentielle 31-01-19 à 13:48

Bonjour Alishisap,
D'accord si on travaille sur un .
En fait, j'étais sur mon idée du dénominateur qui a comme limite 1 .
Je ne voyais donc pas le rapport avec e

Posté par
Alishisap
re : Suites et exponentielle 31-01-19 à 23:27

Bonsoir Sylvieg,

tu voulais certainement dire -1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites et exponentielle 01-02-19 à 08:00

Bonjour Alishisap,
Merci d'avoir rectifié



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