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Suites et fonctions

Posté par
emmaxxx2004
13-01-22 à 13:32

Bonjour,
Je bloqué sur 2 questions à un exercice de suites mêlant les fonctions également, serait-il possible que quelqu'un m'aide à comprendre s'il vous plaît ?
L'énoncé est le suivant :

On s'intéresse à une population de tortues vivant sur une île est dans le nombre d'individus diminue de façon inquiétante. Au début de l'an 2000 on comptait 300 tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite (Un) définie par :

U0 = 0,3
Un+1 = 0,9Un(1-Un)

Ou pour tout entier naturel n, Un modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année 2000+n

1- calculer, à partir de ce modèle, le nombre de tortues au début de 2001 puis l'année 2002. ( Déjà fait, U1=0,189 et U2=0,138).

2- on définit la fonction f sur l'intervalle [0;1] par :
f(x)=0,9x(1-x)

a) montrer que f([0;1]) [0;1]

b) En déduire, pour tout entier naturel n, Un [0;1].

Ce sont ces deux questions ( la 2/a)b) ) auxquelles je n'y arrive pas trop.

Merci bien,
Emma

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 13:34

Bonjour

Avez-vous étudié la fonction  ?

Posté par
emmaxxx2004
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 13:36

Bonjour, c'est à dire ? Les chapitres sur les fonctions oui nous les avons étudié, en revanche, dans le cadre de l'exercice non

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 13:42

Vous avez une fonction, il pourrait être intéressant de savoir comment elle varie donc dérivée et la suite

Ce n'est pas parce que cela a étudié ailleurs que vous n'avez pas la possibilité de les utiliser On ne peut pas tout faire en même temps

Posté par
emmaxxx2004
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 13:43

Il nous est demandé dans les questions suivantes de les étudier et de démonter par récurrence que la suite est d'abord décroissante et après d'en déduire sa convergence.

C'est pour cela que je ne comprends pas trop
Par la suite, je ne marque pas les autres questions puisque ce sont des questions que je sais faire, mais ces deux ci, c'est du jamais vu en cours.

Posté par
emmaxxx2004
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 13:47

Ahhh je crois comprendre ce que vous voulez me dire.

✓je calcule dans un premier temps la dérivée
✓j'en déduis les variations de f

Et après, dois-je calculer les extremums aux bornes 0 et 1?

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 13:48

En a il s'agit bien de f On n'est pas censé connaître la suite

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 13:49

Il y aura sans doute un extremum entre 0 et 1

Posté par
emmaxxx2004
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 13:50

D'accord, je vois.
L'énoncé est assez bizarre la manière dont il est tourné.
Je vais donc calculer ceci

Posté par
emmaxxx2004
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:04

Je me trouve avec ceci :

f'(x)= u'v+uv'
f(x)=0,9-1,8x

D'où, sur [0;1] on a :
f'(x) = 0 pour x= 0,5
f'(x) positif sur [0;0,5]
f'(x) négatif sur [0,5;1]
D'où f croissante sur [0;0,5], avec pour minimum en 0 égal à 0, pour maximum en 0,5 égal à 0,225
Et f décroissante sur [0,5;1] avec pour minimum en 1 égal à 0.

Jusqu'ici, ça va. Je crois que cela répond à la question 2/a).

Seulement, comment je dois faire avec la suite pour montrer que tout entier naturel n, Un[0;1] s'il vous plaît ?

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:04

Oui en général on demande d'étudier la fonction avant

Posté par
emmaxxx2004
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:09

Bon, super, une bonne chose de faite.
En revanche, je bute toujours sur cette question 2/b), ne voyant pas du tout la démarche à suivre... Enfin du moins je n'arrive pas tellement à faire le lien entre les deux questions pour répondre à la 2/b).

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:10

D'accord  
En conclusion : pour tout x\in[0~;~1]\quad f(x)\in[0~;~0,225]

par conséquent, f([0~;~1])\subset [0~;~1]

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:12

On peut peut-être remarquer que f(u_n)=u_{n+1}

Posté par
emmaxxx2004
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:13

Ça c'est bon, merci !

Une dernière question, pourriez vous m'aider s'il vous plaît pour la seconde question ?

Posté par
emmaxxx2004
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:14

Ahhhhh oui, en effet

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:15

Laquelle ?  mon dernier message concernait la question 2 b)

Posté par
emmaxxx2004
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:17

Donc si nous suivons cette logique là, étant donné que
f(Un)=Un+1
Alors pour tout entier n, Un[0;1]

Est ce bon?

Posté par
emmaxxx2004
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:18

Oui, je vous prie de bien vouloir m'excuser, je n'avais pas vu votre message concernant la 2b) avant de le poster

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:24

Pour justifier  un petit raisonnement par récurrence

 u_0 \in [0~;~1]

on suppose u_k \in [0~;~1]  donc f(u_k)\in    or \dots

Pas besoin d'excuse ce sont les messages qui étaient trop rapprochés  donc normal de ne pas les voir  

Posté par
emmaxxx2004
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:28

Ahhhhhh!!

Cela signifie donc que j'ai 2 raisonnement par récurrence a la suite car je vais devoir montrer pas la suite que la suite est décroissante 😰

Posté par
emmaxxx2004
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:29

Raisonnements*

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:36

Pourquoi un raisonnement par récurrence pour la décroissance ?

u_{n+1}-u_n=0,9u_n(1-u_n)-u_n=u_n\left(0,9-0,9u_n-1\right)=-u_n(0,1+ u_n) et c'est bien négatif

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:37

-u_n(0,1+0,9 u_n) *

Posté par
emmaxxx2004
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:38

Donc actuellement j'ai :
f(Uk)=Uk+1
Avec f(Uk)[0;1]

Et là, ça coince

Posté par
emmaxxx2004
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:40

On nous l'a appris ainsi, on nous a toujours dit que pour monter une décroissance de suite il fallait user de la récurrence

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:46

S'agit-il de la récurrence de la question 2 b ?

on suppose u_k \in [0~;~1]  donc f(u_k)\in  [0~;~1]  

or f(u_k)=u_{k+1}   donc  u_{k+1}\in[0~;~1]

On a montré que le premier terme appartenait à [0~;~1]  et si u_k \in [0~;~1] alors u_{k+1}\in [0~;~1]

par conséquent, pour tout n,\  u_n\in [0~;~1]

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:48

Ce n'est pas la définition d'une suite décroissante

 (u_n) est décroissante si et seulement si pour tout n,\  u_{n+1}\leqslant u_n

Posté par
emmaxxx2004
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:51

Ahhhh, je comprends ! En fait il me manquait juste la deuxième ligne de l'hérédité, sinon j'avais tout, c'est pour cela que ça coinçait !

Merci beaucoup pour votre aide !

Je renverrai un message si je ne comprends pas la suite mais le reste des questions ne m'ont pas l'air bien méchante, d'autant plus qu'il y a du python.

Encore merci à vous !!

Posté par
emmaxxx2004
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:51

D'accord, je comprends mon erreur pour la suite décroissante !

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 14:59

Sans problème il ne faut jamais rester sur une interrogation ou un doute

Bienvenue sur  
Pour une prochaine fois, vous avez maintenant la possibilité d'envoyer une image du texte  à deux conditions le texte est un peu long et vous avez tapé les premières lignes du sujet
Il est souvent intéressant de savoir où le texte veut vous conduire.

De rien

Bon courage pour la suite

Posté par
emmaxxx2004
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 15:01

Merci !

Super, je ferai cela alors !

Posté par
emmaxxx2004
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 15:09

J'ai encore un doute, pour exprimer un+1 en fonction de n..

Est ce que c'est :
Un= U0 ( 0,9+ 1/U0 - 1)
Un= U0(-0,1+1/Un)n
?

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 15:22

Y a-t-il d'autres questions  ? car la suite semble bien quelconque

Posté par
emmaxxx2004
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 15:26

Il y a :
C) montrer que (Un) est décroissante
D) en déduire que (Un) converge vers un nombre réel m que l'on déterminera.

Je sais que toute suite décroissante et minorée converge.

Après, je n'arrive pas à le déterminer

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 15:42

La limite doit être 0, mais pour l'instant je ne vois pas trop comment le démontrer

Posté par
emmaxxx2004
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 15:43

Est ce que je prends la limite que j'avais calculé en 1 dans la question 2a)?

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 13-01-22 à 16:04

0\leqslant u_n \leqslant 1 par conséquent, 0\leqslant 1-u_n\leqslant 1

u_{n+1}\leqslant 0,9 u_n

la suite (v_n) définie par v_{n+1}=0,9 v_n  est une suite géométrique de raison positive inférieure à 1 donc elle converge vers 0

La suite (u_n) est donc majorée par une suite qui converge vers 0, étant minorée par 0 elle converge donc vers 0



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