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Niveau terminale
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Suites et fonctions

Posté par
Judic
16-10-22 à 14:28

Bonjours a tous, j'ai un DM de maths mais je ne comprends absolument pas comment m'y prendre pourriez vous m'aider s'il vous plaît
L'intitulé est le suivant :
On considère la suite (un) définie sur n par u0 = 3 et pour tout n appartient à N un+1 = 1/2(un + 7/un). On admet que pour tout entier naturel n, un>0
1) on désigne par f la fonction définie sur ]0;+infinie[ par f(x) = 1/2(x+7/x). Démontrer que f admet un minimum. En déduire que, pour tout entier naturel n, un>\= racine de 7
2) a) Soit n un entier naturel n quelconque.
Étudier le signe de un+1-un
b) la suite (un) converge-t-elle ? Si oui déterminer sa limite.
3) Démontrer que pour tout entier naturel n, un+1 - racine de 7 = 1/2[(un-racine de 7)^2)/un]
4) On définit la suite (dn) par d0 = 1 et dn+1 = 1/2dn^2 pour tout entier naturel.
a) démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un -racine de 7 <\= dn
b)Calculer d5 et justifier que u5 est une valeur approchée de racine de 7 a 10^-9 près.
Voilà merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
malou Webmaster
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 14:29

Bonjour

tu es en terminale, donc tu as fait une première...
question 1) comment traite-t-on cette question ?

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 14:41

Je ne vois pas du tout comment démontrer qu'une fonction admet un minimum...
On doit prendre f(0) ?

Posté par
malou Webmaster
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 14:57

classe de première ai-je dit....
dérivée, tableau de variation...

Je ne faisais que passer et je laisse volontiers la main à qui peut aider. Merci.

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 14:59

Ah oui en effet j'ai complétement oublié ce point je vais essayer de me débrouiller merci beaucoup et je prend volontier l'aide de qui peut

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 15:36

Bonjour

Que donne alors la dérivée ?

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 16:17

J'ai trouvé f'(x) = 1/2(1-7/x^2)
Mais quand je trace mon tableau de variation j'ai complétement oublié comme le dresser a partir de ça

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 16:23

Signe de la dérivée
puis
Si pour tout x\in I,\:f'(x)< 0 alors f est  strictement décroissante sur I.

Si pour tout x\in I,\:f'(x)> 0 alors f est  strictement croissante sur I.

On résume dans un tableau.

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 16:48

Super merci beaucoup j'ai fais mon tableau j'ai donc trouve que racine de 7 était le minimum de la fonction et pour relier avec la suite pour la 2nd partie de la question je n'ai qu'à dire que la suite a la même expression que la fonction donc par conséquent racine de 7 sera la minimum de la suite aussi ?

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 17:08

Vous avez montré que la fonction admettait un minimum en \sqrt{7} qui vaut \sqrt{7}.
Par conséquent, pour tout x\in \R^+_*,\  f(x)\geqslant \sqrt{7}

C'est donc vrai si x\in\N^* et x=u_n En outre, u_0=3 >\sqrt{7}, c'est donc vrai pour tout n.

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 17:44

Super merci beaucoup. Pour la question 2 j'ai calculé la différence du coup j'ai trouvé
Un+1 - un = (-un^2 +7)/2un
Pour déterminer le signe ducoup, je sais que un>0 donc 2un >0 et je sais que un >\= racine de 7. Par conséquent -un^2+7 sera inférieur ou égale à 0. C'est bien cela ?
J'ai réussi à déterminer grâce au théorème de convergence monotone que la suite était convergente mais je ne sais pas comment calculer la limite.

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 18:07

Oui, u_{n+1}-u_n = \dfrac{7-u_n^2}{2u_n}=\dfrac{(\sqrt{7}+u_n)(\sqrt{7}-u_n)}{2u_n}

u_n >0 donc \sqrt{7}+u_n et 2u_n positifs

u_n\geqslant \sqrt{7} donc \sqrt{7}-u_n \leqslant 0


f(\ell)=\ell

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 19:11

Merci mais je pense que pour utiliser la formule f(l) = l il faut avoir vu ce que sont que les fonctions continues je crois que c'est ce que ma prof m'a dis. Or on ne les a pas encore vu donc il faudrai procéder d'une autre maniere

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 19:21

À la limite, on a u_{n+1}=u_n

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 19:24

J'ai réussi en faisant l'équation j'ai donc trouve l=racine de 7 et l=-racine de 7.
Étant donné que un>\=racine de 7 sa limite est forcément racine de 7

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 19:26

Oui, \ell=\sqrt{7}

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 19:32

La question 3 j'ai réussi sans encombres et je tente de faire la 4)a) mais je n'arrive pas à démarrer pourriez vous m'éclairer s'il vous plaît

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 19:43

4 a) démonstration par récurrence :

u_n-\sqrt{7}\leqslant d_n

initialisation  n=0

Est-ce que  u_0-\sqrt{7}\leqslant d_0

hypothèse de récurrence:
on suppose la propriété P(n) vraie, c'est-à-dire  u_n-\sqrt{7}\leqslant d_n

on veut montrer P(n+1) est vraie

c'est-à-dire  u_{n+1}-\sqrt{7}\leqslant d_{n+1}

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 19:46

En réfléchissant j'ai réussi mon initialisation et le début de l'hérédité. Le point où je bloque c'est que ma prof m'a dis de ne jamais partir de ce que je cherchais a démontrer donc ici, un+1 - racine de 7 <\= dn+1
Il faut toujours partir de ce qu on sait c'est a dire un-racine de 7<\=dn
Mais du coup je ne sais pas du tout comment entamer mon hérédité et ma démonstration

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 20:06

On ne part de ce que l'on cherche  on passe au rang suivant

u_{n+1}-\sqrt{7}=\dfrac{1}{2}\left(u_n-\sqrt{7}\right)^2 question 3

utilisation de la relation de récurrence

u_{n+1}-\sqrt{7}\leqslant \dfrac{1}{2}(d_n)^2

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 20:30

Et donc une fois que j'ai l'inégalité
1/2(un-racine de 7)^2/un <\= 1/2dn^2
Comment je fais pour démontrer mon hérédité

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 20:32

Il ne faut pas oublier comment est définie la suite \left(d_n\right)

 d_{n+1}=\dfrac{1}{2} (d_n)^2

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 20:36

Je sais bien mais je ne vois vraiment pas ce que je peux faire avec ça :/

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 20:41

Vous avez montré que

u_{n+1}-\sqrt{7}\leqslant \dfrac{1}{2}(d_n)^2 et vous savez

que  d_{n+1}=\dfrac{1}{2} (d_n)^2 Par conséquent

u_{n+1}-\sqrt{7}\leqslant d_{n+1}


P(n+1)  est vraie

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 20:46

Super merci je vais essayer de mener a bout cet exercice !
Merci encore

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 16-10-22 à 20:48

Si vous avez des questions, posez-les.

De rien

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 17-10-22 à 20:42

Merci beaucoup c'est très gentil de votre part. Il ne me reste plus que la dernière question sur laquelle je bloque un peu. En effet le seul moyen que je trouve pour calculer d5 est d'utiliser la formule dn+1 = 1/2dn^2, je trouve donc avec ma calculatrice environ 5*10^-10
Je ne sais pas trop quoi faire de ce résultat pour répondre à la question...

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 17-10-22 à 21:06

C'est la seule manière de calculer d_5 puisque l'on n'a pas d'autres relations.
C'est pour cela qu'il n'a été demandé d_5 et non pas d_{10}

d_0=1\quad d_1=\dfrac{1}{2}\quad d_2=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{2^3}\quad d_3=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2^6}=\dfrac{1}{2^7}

d_4=\dfrac{1}{2^{15}}\quad d_5=\dfrac{1}{2^{31}}\approx 4,66 \times 10^{-10}

On est donc bien d'accord pour  d_5

Maintenant, il ne faut pas oublier les questions précédentes

Vous avez montré que u_5-\sqrt{7}\leqslant d_5

d'où  u_5 \leqslant \sqrt{7}+5\times 10^{-10}
concluez

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 17-10-22 à 22:32

Il faut simplement dire que 5*10^-10 est un nombre infiniment petit donc négligeable et que de ce fait u5 sera très proche de racine de 7 ?

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 17-10-22 à 22:40

Vous avez montré que la différence entre  u_5  $ et  $  \sqrt{7} est inférieure à 0,5 \times 10^{-9}

On peut donc dire que u_5 est une valeur approchée de \sqrt{7} à 10^{-9}

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 17-10-22 à 23:46

Super merci beaucoup !

Posté par
hekla
re : Suites et fonctions 17-10-22 à 23:50

De rien



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