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Suites et fonctions

Posté par
Judic
28-12-22 à 17:53

Bonjour a tous j'aurai un dm à faire mais je suis très mauvaise et j'ai l'impression de faire n'importe quoi si quelqu'un pouvais m'aiguiller ce serai très gentil merciii.
Alors le sujet est :
Onconsidère la fonction f définie sur R par f(x)= x^3  e^x. On admet que la fonction f est dérivable sur R et on note f' sa fonction dérivée.
1)a) calculer U1 puis U2 on donnera les valeurs exactes puis les valeurs approchées à 10 ^- 3
2)a) démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : - 1 ≤ un ≤un+1≤0
B) en déduire que la suite un est convergente (celle là je sais faire)
C) on note l la limite de la suite un. On rappelle que l est solution de l'équation f(x)= x. Déterminer l. Pour cela on admettra que l'équation x^ 2 e^x - 1 = 0 possède une seule solution dans R et que celle-ci est strictement supérieur à 1/2
Merci beaucoup !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites et fonctions 28-12-22 à 17:57

Bonjour,
L'énoncé est incomplet. Il manque la définition de la suite.

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 28-12-22 à 18:03

Oh oui pardon j'ai sauté cette ligne sans m'en rendre compte,
On définit la suite un par u0 = - 1 et pour tout entier naturel n un + 1 = f (un)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites et fonctions 28-12-22 à 18:11

Qu'as-tu trouvé au 1) ?

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 28-12-22 à 18:16

J'ai trouvé u1 = e
Et U2 = e^3 e^e mais ça me paraît extrêmement étrange

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites et fonctions 28-12-22 à 18:19

Reprends le calcul de u1.

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 28-12-22 à 18:39

Je viens de le reprendre j'ai trouvé -1/e
Mais le calcul pour U2 me paraît de ce fait impossible

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites et fonctions 28-12-22 à 18:47

Remplace x par -1/e dans f(x).
Ce n'est pas très sympathique, mais pas impossible

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites et fonctions 28-12-22 à 19:18

Je ne vais plus être disponible ; mais d'autres îliens le seront peut-être.
Sinon, à demain.

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 28-12-22 à 19:30

Super merci quand même a vous

Posté par
Vantin
re : Suites et fonctions 28-12-22 à 19:34

Pour la question 1, on a besoin de ces trois informations:
 u_0 = -1 $  u_{n+1} = f(u_n) $ f(x)= x^3  e^x.

Calculons u_1:

 u_{0+1} = u_{1} = f(u_0)=f(-1)=(-1)^3 \cdot  e^{-1} = = -e^{-1}= \frac{-1}{e}

Maintenant on passe au terme suivant, c'est exactement le même procédé:

 u_{1+1}=u_2=f(u_1)=f( -e^{-1}) = ( -e^{-1})^3 \cdot  e^{ -e^{-1}}

On peut simplifier le calcul grâce aux propriétés de l'exponentiel, est ce que tu vois comment ?

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 28-12-22 à 19:46

Bonjour, je ne vois vraiment pas comment simplifier cela 😳

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 28-12-22 à 19:48

J'ai essayer j'ai trouvé -e^-3-1/e
Mais je ne sais pas si c'est ça

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 28-12-22 à 19:57

J'ai bien avancé et je suis a la dernière question mais je ne l'a comprend pas...
Que faut il faire et comment commencer ? Merci beaucoup

Posté par
Vantin
re : Suites et fonctions 28-12-22 à 20:35

Je vais te faire un plan de l'exercice pour que tu comprennes la dernière question:

Déterminer des valeurs de la suite pour avoir une idée de ce qu'il se passe

Tu as donc calculé des valeurs et tu t'es très bien débrouillée pour la simplification bravo!

Génial tu as réussi la récurrence, la question a a du te server pour l'initialisation. (Attention à la rédaction pour ce genre de question)

Pour la question b, il s'agissait d'assembler les pièces du puzzle, tu as montré que la suite est croissante et majorée donc elle est convergente, autrement dit elle admet une limite finie.

Maintenant la dernière question il s'agit de déterminer l.

j'espère que c'est plus claire.

Partons de ce qu'on nous donne f(l)=l.

* Modération > Attention, des erreurs dans la suite de ce message. *

f(l)=l \Leftrightarrow l^3  e^l = l  \Leftrightarrow l^2e^{l} =1

Je m'arrête ici pour souligner un détail important, on a le droit de diviser par l car l est différent de 0. En effet, on suppose que l est supérieur à 1/2.

Je te laisse poursuivre les calculs pour trouver l. Il y a plusieurs façons de procéder, la plus intuitive serait le logarithme étant donné que e^x \ge 0 et x^2 \ge 0, le produit est aussi positif.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Suites et fonctions 28-12-22 à 21:14

Une remarque :

- 1 ≤ un ≤un+1≤0 démontré question 2a

donc on n'aura certainement pas l > 1/2 !!

des deux solutions de f(l)=l sur R tout entier, une seule est à conserver (et il est même inutile de calculer explicitement l'autre ...)

Posté par
Vantin
re : Suites et fonctions 28-12-22 à 21:24

En effet, je me disais bien qu'il n'était pas possible de trouver la deuxième solution avec des outils de terminal et la remarque est plus que bien venu.  

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 28-12-22 à 21:43

Lorsque qu'on résout l'équation l^2 e^l - 1 = 0
Il faut utilise delta ou pas du tout ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Suites et fonctions 28-12-22 à 21:55

certainement pas
"Delta" est exclusivement pour les équations du second degré et uniquement ces équations là, et encore (car ne nombreuses équations du second degré ne nécessitent même pas de "Delta")

il faut par contre se poser la question fondamentale : pourquoi devrait on résoudre l^2 e^l - 1 = 0 ?
ou bien faut il juste dire que sa solution étant > 1/2 (c'est dit dans l'énoncé) alors ....
les solutions de f(l) = l qui nous intéressent ...
(relire ce que j'ai dit dans mon message précédent)

Posté par
Vantin
re : Suites et fonctions 28-12-22 à 21:57

Ne t'occupe pas de cette équation pour le moment. Tu n'as pas besoin de la résoudre.

f(l)=l \Leftrightarrow l^3e^l=l \Leftrightarrow l(l^2e^l -1) = 0

Réfléchissons, que sait t-on sur les valeurs que peuvent prendrent u_n ? Cela implique que la limite qu'on cherche se situe dans un certain interval.
On nous dit que (l^2e^l -1) vaut 0 pour une valeur supérieur à 1/2, conclusion ?

Donc finalement l vaut ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites et fonctions 29-12-22 à 10:22

Bonjour,
J'ai édité le message d'hier à 20h35 pour éviter de perturber d'éventuels autres élèves intéressés par le sujet.

Posté par
Judic
re : Suites et fonctions 29-12-22 à 12:31

J'ai compris, soir l=0 soit l>1/2
Or un≤0 donc la deuxième limite est impossible donc l=0

Posté par
mathafou Moderateur
re : Suites et fonctions 29-12-22 à 13:37

tout à fait
la limite si elle existe est une des valeurs solutions de f(x) = x
ici c'est 0

on peut se poser la question (hors exo) de savoir si avec une autre valeur initiale U0 la suite ne convergerait pas vers l'autre solution, ce qui fournirait un moyen d'obtenir une valeur approchée de la solution de x²ex = 1
il n'en est rien (hélas ...)
en appelant x0 la solution > 0 de x²ex = 1 (l'énoncé dit même que x0 > 1/2)
pour tout U0 dans]-oo; x0[ la suite converge vers 0
pour U0 > x0 la suite diverge vers +oo
(et pour U0 = x0, elle est constante et égale à x0 )

une illustration graphique du lien entre suite (U) et fonction f :
le point d'abscisse Un de la courbe est "renvoyé" sur la droite y = x pour donner le point d'abscisse Un+1 de façon répétitive à partir de U0

Suites et fonctions



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