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Suites et limites - 1èreS

Posté par
amgg54
12-04-12 à 18:43

Bonjour !
Vacances de pâques égale dm de maths. Malheureusement ce n'est pas aussi simple que ça, et un peu d'aide serait la bienvenue..

Exercice 1 : A la limite, ça diverge...

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un=5n².
On se donne l'algorithme suivant :

Entrée:
0 n
0 U
Traitement:
Tant que U < A
   5 U
Fin tant que
Sortie:
Afficher n

1. Calculer les 8 premiers termes de la suite (un).
==> u0=0 - u1=5 - u2=20 - u3=45 - u4=80 - u5=125 - u6=180 - u7=245 (dois-je également mettre u8, ou les huit premiers termes de la suite sont u0, u1... u7 uniquement ?)

2. a) L'utilisateur affecte 40 à A. Qu'affiche le programme ?
==> le programme affiche n=2 puisque u2=20 et u3=45 --> 20<40<45 donc on s'arrête avant 40, soit 20 donc u2.
b) Même question si l'utilisateur affecte 100 à A. Puis 200 ?
==> même raisonnement que précédemment, donc je trouve n=4 pour A=100 et n=6 pour A=200

3. a) Même question si l'utilisateur affecte 106 à A.
==> (106/5)=448 (arrondi à l'unité supérieure)
b) Prouver que quelle que soit la valeur affectée au nombre A, on peut trouver une valeur de n telle que tous les termes de la suite (un) sont supérieurs à A à partir de ce rang n (On indiquera la valeur de n qui convient en fonction de A).
==> un > A
5n² > A
n² > A/5
n > (A/5)
mais je ne suis pas certaine que la réponse là soit suffisante pour prouver quoique ce soit...


INFO : Dans ce cas, on dira que la limite de la suite (un) est + et on notera lim(quand n +)un = +. La suite (un) est alors dite divergente.

c) Qu'implique ce résultat pour l'algorithme ?
==> après avoir lu le petit encadré "info" au-dessus de la question, j'imagine que la réponse a un rapport avec la limite de la suite qui est + mais je préfère ne rien avancer là-dessus.

4. Proposer 3 autres suites dont la limite est + .
==> ??

5. On considère à présent la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un=(-2)n. Peut-on dire que lim(quand n +)un = + ? Argumenter
==> ??


Pour la suite, je bloque complètement, je ne sais absolument pas comment résoudre les 2 dernières questions de ce cet exercice.


Merci d'avance de votre aide, et passez une bonne journée



PS : Je ne parviens pas à mettre sous une forme correcte les limites, j'espère que cela ne gêne pas trop la compréhension...

Posté par
Meight
re : Suites et limites - 1èreS 12-04-12 à 18:56

Salut,

Ta démonstration pour la 3.b) est correcte. Cependant il faut ajouter que c'est parce que n \in \mathbb{N}^+ (car il ne faut pas oublier qu'un carré admet toujours deux solutions), mais comme on travaille que dans les positifs, on ne considère que la solution positive) et que la fonction n \mapsto 5n^2 est strictemment croissante sur \mathbb{R}^+ donc la suite (u_n) est strictement croissante (ce qui permet d'affirmer que tous les termes qui viennent après sont nécessairement supérieurs aux précédents).

c) Ca peut vouloir dire plusieurs choses mais surtout que quel que soit A donné, il peut renvoyer un n tel que u_n > A.

4) Sers-toi de fonctions strictement croissantes, même simples. Par exemple la suite v_n = n est strictement croissante et tend donc vers l'infini. A partir de là il est simple d'en trouver d'autres, je te laisse le faire.

5) Là on voit bien que ça va coincer. Pourquoi ? À cause de signe négatif !
En effet, il est pris dans la puissance. Etudie la parité de <math>n</math> et tu remarqueras quelque chose d'assez gênant...

N'hésite pas si as d'autres questions.

Posté par
amgg54
re : Suites et limites - 1èreS 12-04-12 à 19:17

Tout d'abord, un grand merci pour cette réponse rapide!

Si j'ai bien compris, pour la 4) il suffit de trouver 3 suites strictement croissantes, par exemple vn=n ; un=2n ; wn= 3n-n+1 ?

Par contre je ne comprend pas ce que tu veux dire avec

Citation :
Etudie la parité de <math>n</math>

Posté par
Meight
re : Suites et limites - 1èreS 12-04-12 à 19:38

C'est ça pour la 4.

La parité de n, c'est-à-dire si n est pair ou impair.
Vois-tu où je veux en venir ?

Posté par
amgg54
re : Suites et limites - 1èreS 12-04-12 à 20:48

Ah la formule servait juste à mettre le n sous une forme plus jolie! Je pensais que ça avait un rapport avec une fonction spéciale... Autant pour moi donc !
Ainsi pour la 5) :
u0=1 - u1=-2 - u2=4 - u3=-8 - u4=16 - u5=-32 - u6=64 - u7=-128 - u8=256 etc
on voit qu'on fait 2 et que quand n est pair c'est positif, et quand n est impair c'est négatif
Donc pour cette question, la suite (un) n'est pas monotone puisque une fois c'est positif une fois c'est négatif etc. Donc elle n'est pas non plus croissante.
Mais on peut dire que lim un=+, mais comment l'argumenter ?

Posté par
Meight
re : Suites et limites - 1èreS 12-04-12 à 21:29

Comment peux-tu dire que \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty ?

Si tu regardes à n = 2565457878988877112 (nombre pair), la suite sera très très haut (vers plus l'infini), mais si tu regardes n + 1 = 2565457878988877113 (nombre impair), la suite retourne direct de l'autre côté (vers moins l'infini).

Donc (u_n) n'a tout simplement pas de limite.

Posté par
amgg54
re : Suites et limites - 1èreS 13-04-12 à 17:42

J'avais mis + puisque la suite allait jusqu'à l'infini, je n'avais pas pensé qu'il y avait aussi les négatifs.
Merci pour ces explications, ça m'a beaucoup aidé!!

Posté par
amgg54
re : Suites et limites - 1èreS 13-04-12 à 17:50

Oui en fait, j'avais mis la limite en + parce que pour moi l'infini c'est pas vraiment une limite (pas comme si la limite était 2, un beau nombre précis)
Très abstrait comme notion je trouve! Dire que l'infini est une limite, hors l'infini semble ne pas avoir de limite...
En tout cas je comprends mon erreur, et c'est le principalement, merci encore!

Posté par
amgg54
re : Suites et limites - 1èreS 13-04-12 à 18:14

Par contre, pour revenir à la question 3), la 3)c) c'est "qu'implique ce résultat pour l'algorithme?"
Dans l'algorithme, U < A dans la boucle "tant que" or U=5n² donc je dirais que l'algorithme s'arrête à partir du nombre au dessus duquel tous les termes sont supérieurs à A (soit (A/5))

Posté par
Meight
re : Suites et limites - 1èreS 13-04-12 à 19:47

Je t'ai dit ce que je pensais que cela impliquait pour l'algorithme.

Et dire qu'une fonction a pour limite l'infini revient juste à dire qu'elle n'a pas de fonction précise qu'on peut exprimer sous la forme d'un nombre. Ca veut dire que la fonction ne s'arrête jamais et ne tend vers rien de particulier, donc non ce n'est pas abstrait du tout !



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