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Suites et limites

Posté par
julianoo
07-12-21 à 19:50

Bonjour, j'ai un exercice à faire et je ne l'ai pas bien compris.. Donc si jamais quelqu'un pourrait m'aider en me transmettant un corrigé pour que je puisse comprendre, cela m'aiderai grandement ! Donc voici mon énoncé :
La grand-mère de Théo sort un gratin du four, le plat étant alors à 100 °C. Elle conseille à son petit-fils de ne pas le toucher afin de ne pas se brûler, et de laisser le plat se refroidir dans la cuisine dont la température ambiante est supposée constante à 20 °C.Théo lui rétorque que quand il sera à 37 °C, il pourra le toucher sans risque. Sa grand-mère lui répond qu'il faudra attendre 30 minutes pour cela.

Partie A
On modélise la température du plat par une fonction f, définie pour tout réel t > 0 par :f(t) = 80e-0,04t+ 20.t est exprimé en minute, f (t) est exprimée en degré Celsius.

1. Démontrer que la fonction f est décroissante sur R.
2. Tracer la courbe représentative de la fonction f dans un repère d'unités 1 cm pour 2 minutes en abscisse et 1 cm pour 10 °C en ordonnée.
3. En utilisant le graphique, vérifier si la grand-mère de Théo a bien estimé ou non le temps nécessaire pour atteindre 37 ° C.

Partie B
On modélise d'une seconde manière la température du plat par une suite (un), définie par u0= 100 et, pour tout entier naturel n, par :un+ 1= 0,96un+ 0,8,n est le temps exprimé en minute, un est la température du plat exprimée en degré Celsius.

1. Quelle sera la température du plat au bout de 30 minutes ? On utilisera une calculatrice ou un tableur. La grand-mère de Théo a-t-elle bien estimé le temps nécessaire pour atteindre 37 °C ?
2. Déterminer une suite constante (vn) qui vérifie la même relation de récurrence que la suite (un).
3. On pose wn= un - vn.
Démontrer que la suite (wn) est géométrique. On précisera son premier terme et sa raison.
4. Exprimer wn puis un en fonction de n.
5. Déterminer la limite de la suite (un). Cette limite pouvait-elle être prévue ?

Posté par
hekla
re : Suites et limites 07-12-21 à 21:18

Bonsoir

Le texte est ambigu, il manque des parenthèses, le 20 fait-il partie de l'exposant  ?

f(x)=80\text{e}^{-0,04t+20} ou   f(x)=80\text{e}^{-0,04t}+20

Vous avez vu les dérivées, donc que vaut f'(x) ? Quel est son signe ?

Quel problème pour tracer la courbe ?

Posté par
julianoo
re : Suites et limites 07-12-21 à 21:50

Bonsoir, non le 20 ne fait pas partie de l'exposant, je ne savais seulement pas comment écrire cette formule ..  

Pour la dérivé de f'(t), j'ai trouvé f'(t)=-16/5e^1/25t

Et pour la courbe il n'y a normalement pas de problème, c'est surtout la suite de l'exercice qui me pose problème..

Posté par
hekla
re : Suites et limites 07-12-21 à 22:09

\begin{cases}u_0=100\\u_{n+1}=0,96u_n+0,8\end{cases}


 n est le temps exprimé en minutes, donc on vous demande u_{30}

On demande uniquement la calculatrice ou le tableur ; il faudrait calculer les 29 valeurs précédentes

v_n=u_n  donc on doit avoir v_n=0,96v_n+0,8 Que vaut  v_n ?



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