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suites et limites

Posté par
oumy1 17-10-22 à 09:11

Bonjour, j'ai cet exercice à rendre et je ne sais si les réponses du 2) a) et b) sont exactes. Merci de bien m'aider.

Soit la suite (Un)bdéfinie sur par: U0 et Un+1=\frac{1}3{Un}-2.
On pose pour n : Vn=Un+3.
1) a) Démontrer que (Vn) est géométrique.
     b) Calculer Vn puis Un en fonction de n.

2)On note Sn= V0+V1+......+Vn     et Tn=U0+U1+......+Un
a) Calculer Sn en fonction de n puis en déduire limite Sn en +.
b) Déterminer Tn en fonction de Sn et n puis en déduire limite Tn en +



1) j'ai trouvé:
a) (Vn) est géométrique de raison q=1/3 et V0=6.
b)Vn=V0*qn Vn= 6*(1/3)n  et Un=6*(1/3)n-3.

2)a)S_n=6*\dfrac{1-(\dfrac{1}{3})^{n+1}}{1-\dfrac{1}{3}}=9*[1-(\dfrac{1}{3})^{n+1}].
lim Vn=9
b) T_n=3*\dfrac{1-(\dfrac{1}{3})^{^{n+1}}{}}{1-(\dfrac{\dfrac{1}{}}{3})}= \dfrac{9}{2}*[1-(\dfrac{1}{3})^{n+1}].
limUn=\dfrac{9}{2}


Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
PLSVUre : suites et limites 17-10-22 à 09:57

Bonjour,
1 et 2a) OK pour pour les valeurs  à justifier
2b Faux
Corrige la somme des termes Un, et la limite...
Un=6*(1/3)n-3=Vn-3

Posté par
heklare : suites et limites 17-10-22 à 10:19

Bonjour

Vous n'avez pas donné la valeur de u_0. On va donc supposer que u_0=3. Dans ce cas, la question 1 est correcte.

question 2  D'accord pour 2 a)

2)b T_1=u_0+u_1=v_0-3+v_1-3=(v_0+v_1)-6=6+2-6=2

En prenant votre formule pour n =1 on obtient

T_1=\dfrac{9}{2}\times \left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\right)=\dfrac{9}{2}\times \dfrac{8}{9}=4

Il y a donc une erreur

C'est la limite de T_n pas de U_n

Posté par
oumy1re : suites et limites 17-10-22 à 10:40

Bonjour PLSVU et hekla merci de votre aide.
j'ai oublié effectivement de mettre la valeur de U0=3.
hekla je ne comprends pas pourquoi la puissance est au carré pour T1 et pourquoi prenons nous n=1

Posté par
heklare : suites et limites 17-10-22 à 10:52

C'était juste pour vous montrer que si l'on utilisait votre formule du
calcul de la somme   une première fois directement, l'autre fois en
utilisant votre résultat, les réponses étaient différentes. D'un côté, on
trouvait 2 de l'autre 4, ce qui n'est pas possible.

Il est bien entendu que l'on ne va pas faire les calculs pour un n élevé.
C'est pourquoi j'ai pris n=1  d'où n+1=2 et l'existence d'un carré.

Posté par
oumy1re : suites et limites 17-10-22 à 11:05

ok mais alors qu'est ce que je dois faire pour calculer Tn, je suis perdu.

Posté par
heklare : suites et limites 17-10-22 à 11:12

Si l'on écrit les différents termes

u_0=v_0-3 \\ u_1=v_1-3 \\ u_2=v_2-3 \\ \vdots \\ u_i=v_i-3 \\ \vdots \\ u_n=v_n-3

et qu'on en fasse la somme, on a

T_n= S_n+(\dots)\times(-3)

Vous avez déjà calculé S_n

Posté par
oumy1re : suites et limites 17-10-22 à 11:25

alors Tn= 9*[1-(\frac{1}{3})^{n+1}] (.........)*(-3)

je suis perdu je ne sais pas à quoi correspond la parenthèse vide et pourquoi -3

Posté par
heklare : suites et limites 17-10-22 à 11:38

(\dots) correspond au nombre de fois où on a -3  

-3 est bien le terme que l'on enlève à chaque ligne

Posté par
oumy1re : suites et limites 17-10-22 à 12:10

Tn = Sn +Un *(-3)

Tn=9[1-(\frac{1}{3})^{n+1}]+ [6*(\frac{1}{3})^{n}-3]*(-3).

est ce c'est bon ou bien c'est encore une bêtise??? je ne comprends la démarche.

Posté par
heklare : suites et limites 17-10-22 à 12:35

Je reprends  

on veut calculer la somme des u_k pour k variant de 0 à n


c'est-à-dire  \displaystyle T_n=\sum_{k=0}^{k= n}u_k

Pour chaque terme u_k on a deux parties : la première le terme v_k d'une suite géométrique et le second le terme constant -3



la somme des premiers termes sera donc celle d'une suite géométrique  et la somme des seconds termes sera égale à (-3) fois le nombre de termes de 0 à n soit n+1

Conclusion  T_n= S_n+(n+1)\times (-3)


Si je reprends T_1  

T_1 =u_0+u_1=v_0-3+v_1-3, c'est-à-dire la somme des deux premiers termes de la suite géométrique et de 2 fois (-3). On a bien -3-3

Posté par
oumy1re : suites et limites 17-10-22 à 22:19

ok , je commence à comprendre mais je n'aurais jamais trouvé sns votre aide.

est-ce qu'il faut que je développe Tnou la laisser sous cette forme:
Tn= Sn+(n+1)*(-3)
      =9[1-(\frac{1}{3})^{n+1}](n+1)*(-3)
      =9[1-(\frac{1}{3})^{n+1}]-3n-3

limTn=-\infty \\ [tex]\infty T




                                    

Posté par
oumy1re : suites et limites 17-10-22 à 22:23

limTn=-\infty
est ce que c'est bon?

Posté par
heklare : suites et limites 17-10-22 à 22:27

Il vaut mieux développer

Vous avez oublié un signe +

T_n=9\left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right)+(n-1)\times (-3)

Posté par
heklare : suites et limites 17-10-22 à 22:29

T_n=-3n+12-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}

À la limite -\infty+12-0=-\infty donc oui

Posté par
oumy1re : suites et limites 17-10-22 à 22:59

j'ai un problème pourquoi obtient -on (\frac{1}{3})^{n-1}

Posté par
heklare : suites et limites 17-10-22 à 23:06

Vous avez 9\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}

  on peut aussi l'écrire sachant que n+1=1+1+n-2

3\times 3\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-2}

Posté par
heklare : suites et limites 17-10-22 à 23:09

Mais vous n'êtes pas obligé de faire cette transformation

c'est souvent intéressant d'avoir une écriture simplifiée, cela fait fonctionner aussi le calcul mental.

Posté par
oumy1re : suites et limites 17-10-22 à 23:15

dans le méssage à 12h35 vous me dites que Tn=Sn+(n+1)*(-3) et maintenant vous écrivez  
T_{n}=[1-(\frac{1}{3})^{n+1}]+(n-1)(-3), c'est normal?
  

Posté par
heklare : suites et limites 17-10-22 à 23:19

erreur, il y a bien n+1 lignes donc n+1 fois (-3)

Pour T_n, vous avez oublié le 9 devant la première parenthèse

Posté par
oumy1re : suites et limites 17-10-22 à 23:24

je dois avouer que c'est compliqué pour aujourd'hui avec cette fin d'exercice et pourtant j'adore le calcul mental.
si je note T_{n}=-3n+12-9(\frac{1}{3})^{n+1} est ce que c'est bon?

Posté par
oumy1re : suites et limites 17-10-22 à 23:26

hekla @ 17-10-2022 à 23:19

erreur, il y a bien n+1 lignes donc n+1 fois (-3)

Pour T_n, vous avez oublié le 9 devant la première parenthèse


Oups! encore une erreur de ma part.

Posté par
heklare : suites et limites 17-10-22 à 23:33

Le 12 provenait de 9-(-3 )  or avec la rectification, on a 9+(-3)=6

Posté par
heklare : suites et limites 17-10-22 à 23:37

je reprends

T_n=9\left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right)+(n+1)\times (-3)

T_n=9-9\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}-3n-3

T_n=-3n+6-9\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}

Posté par
oumy1re : suites et limites 17-10-22 à 23:44

doncT_{n}=-3n+6-9(\frac{1}{3})^{n+1} c'est bien ça?

Posté par
oumy1re : suites et limites 17-10-22 à 23:46

je n'avais pas vu votre message.
MERCI beaucoup hekla de de aide et surtout de votre patience

Posté par
heklare : suites et limites 17-10-22 à 23:52

C'est encore mieux ainsi, vous avez pu rectifier vous-même

De rien


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