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Suites et nombres de solutions
Salut à tous. Je remercie les deux personnes qui m'ont aidé à trouver une primitive d'une fonction.
Voici 3 autres questions que je n'arrive pas à résoudre.
A/ Quel est le nombre de solutions de l'équation x^2=xsinx + cosx
B/ Un capital est placé dans un banque au taux de 4,5% par an. Au bout de combien d'année le capital est-il doublé?
C/ Soit n un nombre entier naturel non nul, alors le produit
(n+1)(n+2)...2n est égal à :
2n!/n! ; (2n)!/n! ; 2n!-1/n-1 ; (n!)^2/2n!-1
Je remercie d'avance ceux qui vont m'aider.
Je précise que je n'attends pas uniquement les réponses mais la méthode et le développement.
Merci beaucoup d'avance.
A/
f(x) = x²-x.sin(x)-cos(x)
f '(x) = 2x - sin(x) - x.cos(x) + sin(x)
f '(x) = x(2 - cos(x))
Et comme -1 <= cos(x) <= 1, on a 2 - cos(x) > 0 quelle que soit la valeur réelle de x.
-> f'(x) a le signe x.
f '(x) < 0 pour x dans ]-oo ; 0[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 0.
f '(x) > 0 pour x dans ]0 ; oo[ -> f(x) est croissante.
Il y a un minimum de f(x) pour x = 0, ce min vaut f(0) = -1
lim(x-> -oo) f(x) = oo
lim(x-> oo) f(x) = oo
De tout ce qui précéde, on conclut qu'il y a 2 valeurs de x pour lesquelles on a f(x) = 0, une de ces valeurs est strictement négative et l'autre strictement positive.
f(x) = 0 est équivalent à x² = x.sin(x) + cos(x).
Il y a donc 2 solutions à l'équation x² = x.sin(x) + cos(x), une de ces solutions est strictement négative, l'autre est strictement positive.
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Sauf distraction. 
B/
Soit Co le capital de départ et Cn le capital après n années.
On a Cn = Co * (1,045)^n
On aura Cn = 2.Co si:
2.Co = Co * (1,045)^n
2 = (1,045)^n
log(2) = n.log(1,045)
n = log(2)/log(1,045)
n = 15,75
Soit au cours de la 16ème année.
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Sauf distraction.
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