Une entreprise spécialisée dans la construction de pièces automobiles réalise
30000 unités sur l'année 2018. L'année suivante, ce nombre augmente de 4%
mais certains modèles sont défectueux et doivent donc être retirés de la
commercialisation. On estime ce nombre à 100 par année.
On note 𝑐𝑛 le nombre de modèles réalisés à l'année 2018 + 𝑛. De telle sorte que 𝑐0 = 30000
On suppose que l'entreprise suit la même progression chaque année.

Partie A
1) Montrer que 𝑐1 = 31100 et calculer 𝑐2
2) Justifier que 𝑐𝑛+1 = 1,04𝑐𝑛 − 100
3) La suite (𝑐𝑛) est-elle géométrique ?

Partie B
On pose 𝑣𝑛 = 𝑐𝑛 − 2500. On admet que (𝑣𝑛) est une suite géométrique de raison 1,04.
1) Déterminer 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛
2) En déduire une expression de 𝑐𝑛 en fonction de 𝑛
3) Déterminer en justifiant à l'aide du cours la limite de 𝑐𝑛
4) La production dépassera-t-elle 50000 pièces ? Si oui en quelle année ? Justifier

Partie C
1) Calculer la somme 𝑣0 + 𝑣1 + 𝑣2 + … … + 𝑣14
2) On admet que 𝑐0 + 𝑐1 + ⋯ + 𝑐14 = 𝑣0 + 𝑣1 + … … + 𝑣14 + 14 × 2500
A l'aide de cette formule, déterminer le nombre total de pièces vendues en 2032.
3) Sachant qu'une pièce est vendue 1,20€ calculer la recette globale de cette entreprise de 2018 à 2032.

Bonus : Montrer que (𝑣𝑛) est une suite géométrique.