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Suites et reccurence

Posté par
clemence1
03-10-21 à 18:36

Bonjour,
J'ai cet exercice à faire :

On considère la suite numérique (Un) définie sur N par :
U0 = 2 et pour tout entier naturel n , Un+1 = -1/2*Un^2 + 3Un - 3/2.

1) Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de U1 et U2.

J'ai réussi :
U1 = 5/2
U2 = 23/8

2) Donner une valeur approchée à 10^-5 près des termes U3 et U4.
U3 environ égal à 2,99219
U4 environ égal à 2,99997

3) Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite Un.
La suite Un semble être croissante, de plus Un+1 > Un.
De plus, Un tend vers 3, quand n tend vers +.
Lim Un = 3
n+

4) On considère la suite numérique (Vn) définie pour tout entier naturel n, par :
Vn = Un - 3

a) Montrer que pour tout entier naturel n, Vn+1 = -1/2Vn^2
J'ai reussi

b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
-1 <= Vn <= 0.

On note P(n), l'inégalité : -1 <= Vn <= 0, pour n appatenant à N.
Initialisation : Pour n=0
U0 - 3 = 2 - 3 = -1, or -1 <= -1 <= 0, Donc P(0) est vraie.

Hérédité :
on suppose qu'il existe un k appartenant à N tel que P(k) est vraie, c'est-à-dire que -1 <= Vk <= 0.
On veut montrer alors que P(k+1) est vraie, c'est-à-dire que
-1 <= Vk+1 <= 0.

On sait que :
Vk+1 = -1/2*Vk^2
Mais, ensuite, je suis perdue.

Merci d'avance
Clem

Posté par
carita
re : Suites et reccurence 03-10-21 à 18:43

bonsoir

utilise ton hypothèse de récurrence,

-1 Vn 0
...? Vn ² ...?

....

Posté par
carita
re : Suites et reccurence 03-10-21 à 18:44

(k à la place de n, pour reprendre la début de ta démo)

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 03-10-21 à 18:48

-1  <= Vk <=  0
  _1Vk <=Vk ² <= 0

Posté par
carita
re : Suites et reccurence 03-10-21 à 18:50

euh... (re)jette un oeil sur la fonction f(x)=x²  

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 03-10-21 à 18:52

1 >= Vk^2 >= 0

Posté par
carita
re : Suites et reccurence 03-10-21 à 18:55

je préfère  0 Vk² 1

ok
il te reste donc  à multiplier par -1/2 pour retrouver l'expression de Vk+1
que devient ton encadrement ?

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 03-10-21 à 18:59

-1/2 <= -1/2Vk^2 <= 0
On sait que -1 est plus petit que -1/2  donc on peut affirmer que
-1<=Vk+1<= 0

Posté par
carita
re : Suites et reccurence 03-10-21 à 19:00

et voilà

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 03-10-21 à 19:00

Merci

Posté par
carita
re : Suites et reccurence 03-10-21 à 19:01

avec plaisir
bonne continuation.

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 03-10-21 à 19:03

c) Démontrer que, pour tout entier naturel n,
Vn+1 - Vn = -Vn(1/2Vn+1)
j'ai réussi

d) En déduire le sens de variation de la suite (Vn)
La, je bloque

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 03-10-21 à 19:05

Je sais que :
(Vn) est croissante si Vn+1 >= Vn
et (Vn) est décroissante si Vn+1 <= Vn

Posté par
carita
re : Suites et reccurence 03-10-21 à 19:08

tu dois en effet t'intéresser au signe de
Vn+1 - Vn = -Vn(1/2Vn+1)

utilise l'encadrement en 4b) pour déterminer le signe de (1/2Vn+1)
puis applique la règle des signes sur le produit  -Vn(1/2Vn+1)

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 03-10-21 à 19:14

Donc,
-1 <= Vn <= 0
-1/2 <= 1/2Vn <= 0
1/2 <= 1/2Vn + 1 <= 1
-Vn <= -Vn(1/2Vn+1) <= -1/2Vn

Posté par
carita
re : Suites et reccurence 03-10-21 à 19:24

Je te réponds avec mon téléphone, coupure internet sur mon ordinateur à cause des orages.

Tu peux aller plus loin dans ton étude, puisque tu disposes d'un encadrement de vn...

Tu dois trouver que la différence est positive.

Pour la question suivante que je devine, regarde dans la définition de vn, la relation entre un et vn...

Je laisse la main pour la suite.

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 03-10-21 à 19:35

Je n'y arrive pas

Posté par
carita
re : Suites et reccurence 03-10-21 à 20:17

Regarde l'avant dernière ligne que tu as écrite. De quel signe est vn/2 +1?

Regarde aussi le signe de vn dans la 4b

Ici, c'est seulement les signes qui t'intéressent.

Tu as donc tous les éléments pour en déduire le signe de. -vn(vn/2 +1)

Et tu en déduis le signe de vn+1-vn

Puis la variation de la suite v

Tu vois ?

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 04-10-21 à 11:27

Donc,
-1 <= Vn <= 0, dans ce cas, Vn est négative

1/2 <= 1/2Vn+1<= 1, dans ce cas elle est positive.

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 04-10-21 à 11:28

Donc la différence entre Vn+1 et Vn est positive car -Vn est positif

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 04-10-21 à 11:31

d) la suite Vn est croissante

Posté par
carita
re : Suites et reccurence 04-10-21 à 11:34

bonjour clemence1

c'est ça,  Vn+1 - Vn   0
donc Vn+1    Vn
donc la suite (Vn) est croissante

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 04-10-21 à 11:35

e) Pourquoi peut-on affirmer que la suite (Vn) converge ?

Posté par
carita
re : Suites et reccurence 04-10-21 à 11:39

dans le cours tu dois avoir un théorème qui t'aide à répondre à cette question.

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 04-10-21 à 11:40

On dit que la suite (Vn) tend vers un réel l quand n tend vers +l'infini, si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit que (Vn) converge vers l et on note :
lim Vn = l
n+

Posté par
carita
re : Suites et reccurence 04-10-21 à 11:42

ceci est la définition.
je pensais plutot à un théorème, qui dit :
toute suite croissante et majorée....  termine

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 04-10-21 à 11:42

Non,j'ai rien

Posté par
carita
re : Suites et reccurence 04-10-21 à 11:46

Toute suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure.

par quel nombre est majorée la suite (vn) ?

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 04-10-21 à 11:53

La suite Vn est majorée par 0

Posté par
carita
re : Suites et reccurence 04-10-21 à 11:55

oui

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 04-10-21 à 11:57

f) On note l la limite de la suite (Vn)
On admet que l appartient à l'intervalle [-1 ; 0].
Grâce à l'égalité : Vn+1 = -1/2*Vn^2, déterminer la valeur de l.

Donc:
Lim -1/2 = -1/2
n+

Lim Vn^2 = 0
n+

Par produit :
lim Vn = 0
n+

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 04-10-21 à 11:57

Donc, l vaut 0

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 04-10-21 à 12:00

g) Les conjectures faites au début sont-elles validées?

Oui, car, on sait que :
Vn = Un - 3

Donc,
lim Un = 3
n+

lim -3 = -3
n+

Par somme,
lim Vn = 0
n+

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 04-10-21 à 12:00

On retrouve bien la limite de Vn

Posté par
carita
re : Suites et reccurence 04-10-21 à 12:10

f)
j'aurais plutôt fait (sous réserve de confirmation par d'autres intervenants) :

par définition, la limite de Vn+1 est égale à la limite de Vn

soit L=lim (Vn)=lim (Vn+1)
(je mets une majuscule, plus claire pour cette fonte de caractères)

on a donc  L = -1/2 L²    et  -1 L 0
petit système à résoudre pour trouver L  (=0, on est d'accord)

g)  je présenterais autrement, puisque la conjecture concernait la suite U :

Vn = Un - 3
donc
Un = Vn + 3
lim Un = lim (Vn + 3) = .... d'après le cours

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 04-10-21 à 12:17

Ah oui d'accord mercii

Posté par
carita
re : Suites et reccurence 04-10-21 à 12:18

de rien

tu as bien noté ton erreur pour f) ?
tu partais sur l'hypothèse que L=0
or on te disait que L est compris entre -1 et 0... pas pareil

bonne semaine !

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 04-10-21 à 12:24

Oui, merci



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