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Suites et reccurence
Bonjour,
J'ai cet exercice à faire :
On considère la suite numérique (Un) définie sur N par :
U0 = 2 et pour tout entier naturel n , Un+1 = -1/2*Un^2 + 3Un - 3/2.
1) Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de U1 et U2.
J'ai réussi :
U1 = 5/2
U2 = 23/8
2) Donner une valeur approchée à 10^-5 près des termes U3 et U4.
U3 environ égal à 2,99219
U4 environ égal à 2,99997
3) Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite Un.
La suite Un semble être croissante, de plus Un+1 > Un.
De plus, Un tend vers 3, quand n tend vers +
.
Lim Un = 3
n
+
4) On considère la suite numérique (Vn) définie pour tout entier naturel n, par :
Vn = Un - 3
a) Montrer que pour tout entier naturel n, Vn+1 = -1/2Vn^2
J'ai reussi
b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
-1 <= Vn <= 0.
On note P(n), l'inégalité : -1 <= Vn <= 0, pour n appatenant à N.
Initialisation : Pour n=0
U0 - 3 = 2 - 3 = -1, or -1 <= -1 <= 0, Donc P(0) est vraie.
Hérédité :
on suppose qu'il existe un k appartenant à N tel que P(k) est vraie, c'est-à-dire que -1 <= Vk <= 0.
On veut montrer alors que P(k+1) est vraie, c'est-à-dire que
-1 <= Vk+1 <= 0.
On sait que :
Vk+1 = -1/2*Vk^2
Mais, ensuite, je suis perdue.
Merci d'avance
Clem
je préfère 0
Vk² 1
ok
il te reste donc à multiplier par -1/2 pour retrouver l'expression de Vk+1
que devient ton encadrement ?
c) Démontrer que, pour tout entier naturel n,
Vn+1 - Vn = -Vn(1/2Vn+1)
j'ai réussi
d) En déduire le sens de variation de la suite (Vn)
La, je bloque
tu dois en effet t'intéresser au signe de
Vn+1 - Vn = -Vn(1/2Vn+1)
utilise l'encadrement en 4b) pour déterminer le signe de (1/2Vn+1)
puis applique la règle des signes sur le produit -Vn(1/2Vn+1)
Je te réponds avec mon téléphone, coupure internet sur mon ordinateur à cause des orages.
Tu peux aller plus loin dans ton étude, puisque tu disposes d'un encadrement de vn...
Tu dois trouver que la différence est positive.
Pour la question suivante que je devine, regarde dans la définition de vn, la relation entre un et vn...
Je laisse la main pour la suite.
Regarde l'avant dernière ligne que tu as écrite. De quel signe est vn/2 +1?
Regarde aussi le signe de vn dans la 4b
Ici, c'est seulement les signes qui t'intéressent.
Tu as donc tous les éléments pour en déduire le signe de. -vn(vn/2 +1)
Et tu en déduis le signe de vn+1-vn
Puis la variation de la suite v
Tu vois ?
Donc,
-1 <= Vn <= 0, dans ce cas, Vn est négative
1/2 <= 1/2Vn+1<= 1, dans ce cas elle est positive.
0
On dit que la suite (Vn) tend vers un réel l quand n tend vers +l'infini, si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit que (Vn) converge vers l et on note :
lim Vn = l
n
+
ceci est la définition.
je pensais plutot à un théorème, qui dit :
toute suite croissante et majorée.... termine
Toute suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure.
par quel nombre est majorée la suite (vn) ?
f) On note l la limite de la suite (Vn)
On admet que l appartient à l'intervalle [-1 ; 0].
Grâce à l'égalité : Vn+1 = -1/2*Vn^2, déterminer la valeur de l.
Donc:
Lim -1/2 = -1/2
n+
Lim Vn^2 = 0
n+
Par produit :
lim Vn = 0
n+
g) Les conjectures faites au début sont-elles validées?
Oui, car, on sait que :
Vn = Un - 3
Donc,
lim Un = 3
n+
lim -3 = -3
n+
Par somme,
lim Vn = 0
n+
f)
j'aurais plutôt fait (sous réserve de confirmation par d'autres intervenants) :
par définition, la limite de Vn+1 est égale à la limite de Vn
soit L=lim (Vn)=lim (Vn+1)
(je mets une majuscule, plus claire pour cette fonte de caractères)
on a donc L = -1/2 L² et -1 L 0
petit système à résoudre pour trouver L (=0, on est d'accord)
g) je présenterais autrement, puisque la conjecture concernait la suite U :
Vn = Un - 3
donc
Un = Vn + 3
lim Un = lim (Vn + 3) = .... d'après le cours
de rien 
tu as bien noté ton erreur pour f) ?
tu partais sur l'hypothèse que L=0
or on te disait que L est compris entre -1 et 0... pas pareil
bonne semaine !
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