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Suites et récurrence
Bonjour à tous. J'ai des soucis pour mon dm. (Pourrais-je par la suite énoncer 1 ou 2 autres exercices du dm auxquels je coince, dans un autre sujet?). Toutefois, j'ai ici besoin d'aide. Voici l'énoncé et merci d'avance.
Soit (Un) la suite définie pour n entier naturel par :
Uo = 1
Un+1 = Un + 2n + 3
1) Calculer U1, U2 et U3.
U1 = 6
U2 = 11
U3 = 16
2) Étudier la monotonie de la suite (Un).
On a Un+1 - Un = 2n + 3 et Un+1 -Un > 0
Donc pour tout n entier naturel, Un+1 > Un
Donc Un > 0
Donc suite strictement croissante.
3)Démontrer que pour tout entier naturel n, on a Un>n^2.
Initialisation :
P0 vraie car U0 = 1 et 1 > 0
Hérédité :
On a Un > n^2 par hypothèse de récurrence
montrons que Pn+1 est aussi vraie ("Un+1 > (n+1)^2)
donc Un + 2n + 3 > n^2 +2n + 3
donc Un+1 > n^2 + 2n + 3
mais n^2 + 2n + 3 > n^2 + 2n +1
soit n^2 + 2n + 3 > (n+1)^2
donc Un+1 > (n+1)^2
donc Pn+1 vraie
4)En déduire l'existence d'un rang p à partir duquel pour tout entier n≥p, on a Un>390 et déterminer ce rang à l'aide de la calculatrice.
Pas trouvé
5)Conjecturer une expression de Un en fonction de n ,la démontrer et retrouver alors le résultat de la question 4) par le calcul.
Ni celle là bien sûr
Bonsoir
Pour la partie 2) :
tu n'as pas besoin de préciser U_n>0, sinon tout est bon
Pour la partie 4) :
De la partie précédente, tu déduis que
La définition d'une suite vérifiant une telle limite est :
Par contre pour les autres exercices, ce sera sur un autre post
D'ailleurs,
Rebonjour, alors
U1 = 4
U2 = 9
U3 = 14
Pour faire suite à ta réponse de ma q4, j'admets donc que un>390, et à l'aide du mode suite de la calculatrice, je détermine à partir de quel rang cette inégalité est vraie ?
Bonjour
D'ailleurs,
euh..
c'est u1 et u2 qui étaient faux
maintenant c'est donc u3 qui est faux.
après cette petite correction , je laisse Zormuche poursuivre.
en l'absence de Zormuche, à qui je rends la main dès qu'il revient.
1) finalement quelles sont tes valeurs
4) il y a deux parties
4a) prouver l'existence de p
c'est à dire terminer l'esquisse de démonstration commencée par Zormuche
(pas de calculette là dedans :
propriété de la suite Vn = n²
et utiliser que Un > Vn)
4b) trouver effectivement cette valeur (et là oui, c'est comme tu dis : la calculette, fais le)
(à moins de faire la 5 avant la 4...)
Pour le 1, j'ai trouvé
U1 = 4
U2 = 9
U3 = 16
Pour la q4, je n'ai pas trop compris la démarche. Quand tu me dis que on utilise Un > Vn, c'est comme ce que j'ai fait à la q3. Après je suis un peu perdu..
*** citation intégrale totalement inutile ! ***
on ne veut pas redémontrer que Un > n²
mais de l'utiliser
il existe p tel que pour tout n > p on ait n² > 390 (considéré comme assez évident ! )
et donc que peut on en déduire pour chacun des Un avec n > ce p là ?
Je ne vois pas trop, même si j'ai essayé de bien comprendre désolé
*** CITATION INTEGRALE TOTALEMENT INUTILE ***
que ne comprends tu pas dans "citations complètes totalement inutiles" ??
si encore tu avais dit quel morceau tu ne comprends pas dans cette démonstration...
Ah pardon, ce que je ne comprends pas, c'est le n^2 > 390.
Je pense qu'on peut bien dire que Un > 390 vu que n^2 > 390 et que Un > n^2 ?
Après, on cherche donc ce rang p avec le mode suites de la calculette ?
que ne comprends tu pas dans "citations complètes totalement inutiles" ??
mathafou
Ah pardon, ce que je ne comprends pas, c'est le n^2 > 390.
Je pense qu'on peut bien dire que Un > 390 vu que n^2 > 390 et que Un > n^2 ?
Après, on cherche donc ce rang p avec le mode suites de la calculette ?
il y a deux parties dans la question
- une preuve dans l'absolu de la seule existence
- et une application numérique à la calculette.
la preuve se fait en deux temps
on oublie cette suite
et on montre que quel que soit A (par exemple A = 390)
on peut trouver un p tel que pour tout n > p : n² > A
quasi évident, car la fonction carré est croissante vers l'infini (la définition rappelée par Zormuche)
d'après toi quelle est une valeur de p avec p² > 890 ?
maintenant que l'on sait ça, et maintenant seulement
on revient à la suite Un dont on sait (question 3) que Un > n² quel que soit n
et si pour tout n > p on a n² > 390
alors pour tout n > ce p là Un > n² > 390
qui est ce qui était demandé.
si p^2 >390
alors p > 
390 ?
J'ai vraiment du mal à comprendre alors que ça doit être si simple...
mathafou
ah oui là je comprends mieux.
donc pour tout n ≥ 20 on a bien n² > 390, donc Un > 390
Ensuite je dois conjecturer l'expression de Un en fonction de n, je me bloque toujours à ces questions là ça m'agace.
mathafou
Salut,
Tu as : U0 = 1 ; U1 = 4 ; U2 = 9 ; U3 = 16
C'est à dire : U0 = 1² ; U1 = 2² ; U2 = 3² ; U3 = 4²
Avec ça, tu devrais pouvoir conjecturer Un = ... ?
Oui, mais tu oublies juste une partiede la question :
5)Conjecturer une expression de Un en fonction de n ,la démontrer et retrouver alors le résultat de la question 4) par le calcul.
Et ducoup j'ai fait ensuite ce que je t'ai dit précédemment, normalement je pense que c'est comme ça
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