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suites et récurrence

Posté par
lou1100 17-09-22 à 14:31

Bonjour,
J'ai besoin d'aide pour cet exercice.
" Soit (Un) la suite définie pour tout Un = \frac{-2n + 1}{n + 3}
1. Etudier les variations de la suite (Un)
2. Montrer que (Un) est minorée par -2
3. En déduire que la suite (Un) est convergente

1) J'ai montré que Un était décroissante et j'ai vérifié en traçant un graph sur la calculatrice

2) Il faut faire une récurrence
On veut montrer que Un -2
Initialisation :
Pour n =0, \frac{-2 \times 0 + 1}{ 0 +3}=\frac{1}{3}

\frac{1}{3}\geq -2

P(0) est vraie.

- Hérédité

On suppose qu'il existe un entier naturel n tel que P(n) : Un -2

On va montrer que P(n+1) est vraie, c'est-à-dire : Un+1
\frac{-2n - 1}{n+4}

Un -2

\frac{-2n + 1}{n + 3} -2


Je suis bloquée ici

Merci d'avance pour votre aide

( Je vous préviens que ne vais pas répondre rapidement jusqu'à ce soir, je vous remercie de votre compréhension )


lou1100

Posté par
heklare : suites et récurrence 17-09-22 à 14:37

Bonjour

Montrez que \dfrac{-2n+1}{n+3} >-2 est toujours vraie en résolvant l'inéquation.

Posté par
lou1100re : suites et récurrence 17-09-22 à 18:50

Valeur interdite ; n = - 3

\frac{-2n +1}{n+3} + 2\geq 0 = \frac{-2n + 1 + 2n + 6}{n+3} \geq 0 =\frac{7}{n+3} \geq 0 = n > - 3

Mais je pense que ce n'est pas juste car cela est incohérent

Posté par
heklare : suites et récurrence 17-09-22 à 18:59

  pour tout n \in \N,\  7 est     ainsi que n+3 donc le quotient est

conclusion pour tout n  \dfrac{-2n+1}{n+3} est

Posté par
lou1100re : suites et récurrence 17-09-22 à 21:05

7 est ainsi que n+3 donc le quotient est toujours positif
pour tout n \frac{-2n + 1}{n+3} est -2

Posté par
heklare : suites et récurrence 17-09-22 à 21:16

Si \dfrac{-2n+1}{n+3}est toujours  supérieur à -2, que peut-on alors dire de -2?

Posté par
lou1100re : suites et récurrence 17-09-22 à 21:24

On peut dire que -2 est toujours inférieur

Posté par
heklare : suites et récurrence 17-09-22 à 21:32

Répondez à la question

Montrer que (Un) est minorée par -2

Posté par
lou1100re : suites et récurrence 17-09-22 à 21:55

On conclut en disant que pour entier n, Un -2, donc Un est minorée par -2

Posté par
heklare : suites et récurrence 17-09-22 à 21:57

Bien
Question suivante

Posté par
lou1100re : suites et récurrence 17-09-22 à 22:04

3) Nous avons montré que la suite Un et décroissante, elle est également minorée par -2. D'après le théorème de convergence monotone la suite converge

Posté par
heklare : suites et récurrence 17-09-22 à 22:12

2 petites erreurs  

la suite (u_n)   parenthèses  

est verbe être

Sinon c'est cela.

Posté par
lou1100re : suites et récurrence 17-09-22 à 22:57

D'accord merci !!

Donc pour la question 3)  Nous avons montré que la suite (Un)et décroissante, elle est également minorée par -2. D'après le théorème de convergence monotone la suite est convergente

Je me permets de vous poser deux questions,

- Pourriez-vous me dire si la conclusion de la question 1 est bonne car j'ai l'impression qu'elle n'est pas rigoureuse du tout.

1) U_n_+_1 - Un = \frac{-2n - 1}{n+4}-\frac{-2n +1}{n+3} = \frac{-2n² -n-6n-3+ 2n² +7n -4}{(n+4)(n+3)} = - \frac{7}{(n+4)(n+3)} < 0. La suite Un est strictement décroissante

Pourriez-vous me réexpliquer l'hérédité de la question 2, car je suis confuse avec ce résultat d'inéquation où nous trouvons n > - 3

Je vous remercie par avance pour votre aide.

Posté par
heklare : suites et récurrence 17-09-22 à 23:08

une correction sur les 2.  Fâché avec le verbe être ?

La définition d'une suite décroissante (respectivement strictement)

une suite (u_n) est décroissante (respectivement strictement)

si pour tout n \in \N, \quad  u_{n+1}-u_n\leqslant 0 (respectivement <0)

C'est bien ce que vous avez montré. Donc, on utilise la définition.


Question 2 il n'est pas besoin de récurrence.

On montre tout simplement que pour tout n\in \N, \quad u_n+2 \geqslant 0 \\

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suites et récurrence 18-09-22 à 07:31

Bonjour,
J'enfonce le clou pour la question 2.
Il ne s'agit pas de résoudre une inéquation, mais de démontrer une inégalité pour tout n de .
L'inégalité un -2.
Inégalité de la forme A B.
Quand rien de simple ne saute aux yeux, il y a une méthode très souvent efficace pour démontrer une telle inégalité :
Transformer A - B en espérant réussir à démontrer A - B 0.

Posté par
malou Webmasterre : suites et récurrence 18-09-22 à 08:01

Bonjour à tous

et j'ajoute quelque chose qui n'a pas été relevé, mais dire

lou1100 @ 17-09-2022 à 18:50

Valeur interdite ; n = - 3


et poursuivre comme si on s'était dédouané du problème ennuyeux n'a pas de sens dans la mesure où on travaille dans les entiers naturels

Posté par
lou1100re : suites et récurrence 18-09-22 à 10:01

Bonjour,
Merci à tous les trois pour les explications, je comprends mieux.
Merci pour votre aide toujours efficace.
Je vous souhaite un beau dimanche
lou1100

Posté par
heklare : suites et récurrence 18-09-22 à 10:06

Bon dimanche

De rien


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