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Suites et récurrences
Bonjour,
J'ai un exercice à faire
Voici l'énoncé:
(Un) est la suite définie sur |N par :
Un = 5n3+n
1)a) Vérifier que pour tout entier naturel n,
Un+1-Un=15n(n+1)+6
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un est divisible par 6
2) Proposer une démonstration du résultat obtenu à la question 1) en utilisant les congruences.
J'ai finis la 1)a) sans trop de soucis mais pour la 1)b) je blocke, j'ai une méthode de récurrence qui ne convient pas j'ai l'impression voici ce que j'ai fais
J'ai noté :
Pour tout entier naturel n, on note
P(n) : "5n3+n est congru à 0 modulo 6"
Initialisation: P(0) =0 or 0 est congru à 0 modulo 6 P(0) vraie
Hérédité: soit K appartient à |N, on suppose P(K) vraie càd 5K3 + K est congru à 0 modulo 6, on cherche P(K+1) càd 5(K+1)3+K+1 est congru à 0 modulo 6
Calculons: 5K3+K congru 0[6]
5K3*5+K congru 0*5[6]
5(K+1)3+K congru 0[6]
5(K+1)3+K+1 congru 1[6]
Je trouve congru à 1 modulo 6 est ce que vu que j'ai initialisé je peux mettre 0 à la place du 1 ?
Sinon je dois peut être utilisé une autre méthode ?
Bonjour,
Il y a un peu plus simple.
Considère le terme 15n(n+1)+6
6 est évidemment congru à 0 [6]
Peux-tu montrer que 15n(n+1) est aussi congru à 0 [6] ?
Pour t'aider, je te rappelle que 6 = 2x3.
Il suffirait donc de montrer que 15n(n+1) est congru à 0 [2] et [3]
Hé bien c'est bien ce que je te propose :
Tu fais l'hypothèse que Un est divisible par 6
Tu as montré que Un+1 = Un + 15(n(n+1) + 6
Si tu peux montrer que 15n(n+1) est divisible par 6, alors Un+1 est divisible par 6
Une autre piste :
n et n+1 se suivent, l'un est nécessairement pair et l'autre impair.
(peu importe lequel est pair et lequel est impair...).
donc n(n+1) 
0 [2]
Bonsoir,
Pour le 1)b):
5K3+K congru 0[6]
5K3*5+K congru 0*5[6]
5(K+1)3+K congru 0[6]
ça ne va pas :
5k3*5 = 5(k3 + 1)
Mais k3 + 1 n'est pas égal à (k+1)3
Le a) sert à quelque chose pour cette récurrence.
LeHibou
Il suffirait donc de montrer que 15n(n+1) est congru à 0 [2] et [3]
Je ne suis pas sûre que les élèves en soient là à cette époque de l'année.
ma proposition : on peut dire que n(n+1) est pair car ...... et 15 divisible par 3, donc ......
OK 
Je serai en ligne une grande partie de la journée (confinement...)
Si tu as besoin pour la 2) n'hésite pas !
Ah voilà,encore une fois je n'ai pas regardé s'il y avait d'autres réponses ....
Désolée. Je vous laisse.
Bonsoir co11 !
Effectivement, je n'avais pas vérifié ses calculs 
Pour la suite, je comprends moins ce qu'apporte ton propos :
ma proposition : on peut dire que n(n+1) est pair car ...... et 15 divisible par 3, donc ......
C'est exactement ce que j'ai fait pas à pas avec lui...
Mais pas de souci, là il est parti dormir et je vais en faire autant, si tu veux reprendre la main demain matin tu es bienvenue !
Bonne soirée,
LeHibou
Bonsoir LeHibou
Je pensais que tu disais que si un nombre est divisible par 2 et par 3 alors il est divisible par 6. Alors c'est vrai mais pas très utilisable à cette époque de l'année j'imagine . Et on peut s'en passer.
Mais j'ai peut-être mal compris ....
Et en plus, je n'ai pas vu tes réponses suivantes, je ne pense pas toujours à vérifier. Aïe!!
Bonne nuit, j'arrête aussi.
Rebonjour,
J'ai donc rédiger la récurrence, voilà ce que je trouve:
Pour tout entier naturel n, on note
P(n) : "5n3+n est congru à 0 modulo 6"
Initialisation: P(0) =0 or 0 est congru à 0 modulo 6 P(0) vraie
Hérédité: soit K appartient à |N, on suppose P(K) vraie càd 5K3 + K est congru à 0 modulo 6, on cherche P(K+1) càd 5(K+1)3+K+1 est congru à 0 modulo 6
Calculons: on a UK+1=UK+15K(K+1)+6
Or 6 et UK sont congru à 0[6]
On doit donc démontrer que 15K(K+1) est congru à 0[6]
On peut dire que K(K+1) est pair car un nombre multiplié par le suivant est toujours pair
Et 15 est divisible par 3
15K(K+1) est congru à 0[6]
Ainsi UK+1 est congru à 0[6]
Donc P(K+1) est vraie
Conclusion: Pour tout n appartenant à |N, P(n) est vraie càd Un est congru à 0[6]
Je me questionne juste sur le début de l'hérédité, avant le "calculons".
Et aussi pour la question 2) par congruence on a un peu traité la question dans la récurrences je trouve
Merci beaucoup
Bonsoir
Hérédité: soit K appartient à |N, on suppose P(K) vraie càd 5K3 + K est congru à 0 modulo 6, on cherche P(K+1) càd 5(K+1)3+K+1 est congru à 0 modulo 6
Disons : on veut montrer que P(K+1) càd 5(K+1)3+K+1 est congru à 0 modulo
[
On peut dire que K(K+1) est pair car un nombre multiplié par le suivant est toujours pair[/quote
Voir le message de LeHibou hier à 23h, c'est TB dit
[quote]15K(K+1) est congru à 0[6]
Mets un "donc" avant
Mais tout cela relève un peu du détail.
Je reviens à ta question concernant le 2)
Oui, tu as parlé de congruence en 1). Mais tu as uniquement évoqué des nombres qui congruent à 0 modulo 6, Ce que tu pouvais remplacer par "divisibles par 6". Ce n'est pas une véritable utilisation des congruences.
Je pense que dans cette question, on attend une table de congruence (modulo 6)
D'accord, nickel merci beaucoup, je ferais ça demain matin
Merci de votre aide celà m'est très benefique
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