Bonjour !
J'ai des difficultés avec l'un des exercices de mon devoir maison, si quelqu'un peut m'éclaircir ça serait super :

Soit a un nombre réel fixé.
Le but de cet exercice est d'étudier le suite u définie par : u(0)=a et, pour tout n de N, u(n+1)=e**2u(n)-e**u(n).

A l'aide des questions précédentes, j'ai pu déduire que
u(n+1)-u(n)>= 0 et donc, que u(n) est croissante.

J'ai aussi démontré que u(n+1)=e**u(n)*(e**u(n)-1)
Pour cette question, on suppose que a<=0:
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u(n)<=0

J'ai posé la proposition
P(n):"pour tout n sur N, u(n)<=0"

J'ai fait l'initialisation :
Pour n=0, u(0)=a et a<=0 donc u(0)<=0 alors P(0) est vraie

Mais c'est pour l'hérédité où j'ai eu le plus de mal :
On suppose qu'il existe un entier k>=0, tel que P(k) soit vraie, soit que u(k)<=0. Démontrons que u(k+1)<=0.

J'ai essayé de partir de l'hypothèse de récurrence mais je me retrouve avec u(k+1)<=e**u(k)-1 et je n'arrive pas à savoir si  e**u(k)-1<= 0 quand a<=0.

Du coup, je suis partie de e**u(k)>0 pour avoir une inégalité avec u(k+1)
e**u(k)>0
<=> e**u(k)-1>-1
<=> e**u(k)*(e**u(k)-1)>-e**u(k)
<=> u(k+1)>-e**u(k)
Je sais que -e**u(k)<0 mais je ne peux pas faire le théorème de majoration pour montrer que u(k+1)<0 parce que
u(k+1)>-e**u(k)...

Je n'arrive pas à trouver mon erreur même après cinq re-lectures.
Merci d'avoir pris le temps de lire mon post en espérant que vous puissiez me donner un coup de pouce !