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Suites + Exponentielle

Posté par Kib (invité) 05-06-05 à 22:33

Salut à tous !
J'ai 2 petites questions de deux exercices différents ou je bloque, j'aimerais une petite solution (la plus détaillée possible...)

alors je vous expose ça :

1°) La suite (Vn) est définie pour tout entier naturel n par
Vn = ln (e^(1-(n/2)))
Démontrer que (Vn) est une suite arithmétique, dont on précisera la raison et le premier terme.

2°) f est définie sur R par f(x) = (1-2x)e^(2x). On note f1(x)=f' ; f2(x)=f'' ; fn(x), les dérivées successives de f
Démontrer par récurrence que pour tout n supérieur ou égal à 1 :
fn(x) = 2^n(1-n-2x)e^(2x)


Je vous remercie d'avance

Posté par N_comme_Nul (invité)re : Suites + Exponentielle 05-06-05 à 22:39

Bonsoir !

Tu peux calculer v_{n+1}-v_{n} et montrer que c'est indépendant de n.


____________________
Je suis nul en maths.

Posté par N_comme_Nul (invité)re : Suites + Exponentielle 05-06-05 à 22:40

\ln (e^{-\frac{1}{2}})= ?

Posté par Kib (invité)re : Suites + Exponentielle 05-06-05 à 22:41

Je sais comment il faut faire, le problème c'est que je n'y arrive pas!

Posté par Kib (invité)re : Suites + Exponentielle 05-06-05 à 22:43

Il me semble qu'il faut calculer Vn+1 et par Vn+1 retrouver Vn + r, le problème c'est que je n'y arrive pas

Posté par N_comme_Nul (invité)re : Suites + Exponentielle 05-06-05 à 22:43

rebonsoir !

Commençons par le commencement alors.

v_{n+1}-v_n=\ln\left(e^{1-\frac{n+1}{2}}\right)-ln\left(e^{1-\frac{n}{2}}\right)

Quelle formule sur les log peux-tu utiliser ?

_____________________
Je suis nul en maths.

Posté par N_comme_Nul (invité)re : Suites + Exponentielle 05-06-05 à 22:47

rebonsoir !

Allez, une petite aide :

\ln(a)-\ln(b)=\ln\left(\frac{a}{b}\right)

pour tous réels a et b strictement positifs.
_____________________
Je suis nul en maths.

Posté par Kib (invité)re : Suites + Exponentielle 05-06-05 à 22:52

Oui mais pourquoi tu fais Vn+1 - Vn ?
J'ai par habitude de donc calculer Vn+1, à savoir
Vn+1 = ln(e^((2-n-1)/2))
Et à partir de là retomber sur Vn = ln (e^(1-(n/2))) + r

Posté par N_comme_Nul (invité)re : Suites + Exponentielle 05-06-05 à 22:57

Imagine que tu prouves que v_{n+1}-v_n={\rm un nombrereel}
alors tu prouves que v_{n+1}=v_n+{\rm un nombre reel}
Tu vois ?

Posté par N_comme_Nul (invité)re : Suites + Exponentielle 05-06-05 à 23:07

Je dois m'en aller...

     v_{n+1}-v_n=\ln\left(\frac{e^{1-\frac{n+1}{2}}}{e^{1-\frac{n}{2}}}\right)

Utilise ensuite la propriété :
    \frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}

Puis que \ln\circ\exp={\rm Id_{\mathbb R}}


-\frac{1}{2} ...

Bon courage.

Posté par
H_aldnoerre : Suites + Exponentielle 05-06-05 à 23:10

slt

3$\rm (P_n): f_n(x)=2^n(1-n-2x)e^{2x}

au rang initial on a :
3$\rm f(x)=(1-2x)e^{2x} \Rightarrow f^'(x)=-2.e^{2x}+(1-2x)2e^{2x}=-2.e^{2x}+2e^{2x}-2x.2e^{2x}=-4x.e^{2x}

et
3$\rm f_1(x)=2^1(1-1-2x)e^{2x}=2.-2x.e^{2x}=-4x.e^{2x}

donc la proposition est initialisée

3$\rm (P_{n+1}): f_{n+1}(x)=2^{n+1}(1-(n+1)-2x)e^{2x}=2^{n+1}(-n-2x)e^{2x}

par hypothése de reccurence

3$\rm f_n(x)=2^n(1-n-2x)e^{2x}=(1-n-2x).2^ne^{2x}

soit
3$\rm\begin{tabular}f_{n+1}(x)&=&f_n^'(x)=((1-n-2x).2^ne^{2x})^'\\&=&-2.2^ne^{2x}+(1-n-2x).2^n.2.e^{2x}\\&=&-2^{n+1}e^{2x}+(1-n-2x).2^{n+1}.e^{2x}\\&=&2^{n+1}.e^{2x}((1-n-2x)-1)\\&=&2^{n+1}.e^{2x}(1-n-2x-1)\\&=&2^{n+1}(-n-2x)e^{2x}\end{tabular}

donc la proposition est hereditaire

3$\rm \blue la proposition est hereditaire et initialisee donc vrai \forall n\in\mathbb{N}, n\ge1

sauf erreur ...

+

Posté par
infophilere : Suites + Exponentielle 05-06-05 à 23:18



C'est beau H_aldnoer

Kevin

Posté par
H_aldnoerre : Suites + Exponentielle 05-06-05 à 23:21

merci j'ai pas trop détaillé parce qu'avec mes revision a cotés ...

bon ji retourne @+

Posté par Kib (invité)re : Suites + Exponentielle 05-06-05 à 23:21

Je vous remercie, c'est déjà très sympa

Posté par Kib (invité)re : Suites + Exponentielle 05-06-05 à 23:27

en fait pour le 2, il suffisait de partir avec fn+1 = fn'

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