Niveau terminale

Suites géométriques.

Posté par (invité) 12-10-04 à 17:56

Bonjour à tous!

J'ai un exercice sur les suites et ne suis pas sur de mes réponses. Même pas sur du tout puisque je n'arrive pas à traiter la 2°question.Pourriez vous m'aider s'il vous plait!

Voilà l'énoncé:
(Un) est une suite définie sur N et telle que, quel que soit n de N:
(je sais pas bien faire les symboles).
symbole de somme, avec au dessus un petit n; en dessous p=1 et à droite Up=(7 (exposant n)-1)/2.
a).Calculer U indice 4+U indice 5+U indice 6+ U indice 7+U indice 8+U indice 9.
Je trouve respectivement:
3;24;171;1200;8403;58824;411771;2882400;20176802.5 et quand je fais la somme je trouve:
U indice n=23539400.5
Mais je ne sais pas si je fais bien car il y a je pense une différence entre Up et Un.
b).Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique; déterminer sa raison et son premier terme U indice 1.
Merci d'avance et bon courage.

Posté par hisoka (invité)re : Suites géométriques. 12-10-04 à 18:22

Posté par hisoka (invité)re : Suites géométriques. 12-10-04 à 18:36

Posté par hisoka (invité)re : Suites géométriques. 12-10-04 à 19:32

Posté par hisoka (invité)re : Suites géométriques. 12-10-04 à 20:49

SVP!

Posté par re : Suites géométriques. 12-10-04 à 21:01

Salut Hisoka ,

Je vais essayer de t'aider de mon mieux .
Alors, récapitulons :

(Un) est une suite définie sur $2$\rm~\mathbb{N}$ , telle que pour tout $2$\rm~n~\in~~\mathbb{N}$ :

$2$\rm~\displaystyle\sum_{p=1}^n(u_p)~=~\frac{7^p-1}{2}$

a)Calculer $2$\rm~u_4~+~u_5~+~u_6~+~u_7~+~u_8~+~u_9$ .

Malheureusement, tu as faux , du moins selon moi , à cette question-ci .
Alors, on nous demande de calculer $2$\rm~u_4~+~u_5~+~u_6~+~u_7~+~u_8~+~u_9$ , ce qui équivaut à $2$\rm~\displaystyle\sum_{p=4}^9(u_p)$ .
Or, on a :

$2$\rm~\displaystyle\sum_{p=4}^9(u_p)~=~\sum_{p=1}^9(u_p)~-~\sum_{p=1}^3(u_p)$

En effet : $2$\rm~\sum_{p=1}^9(u_p)~-~\sum_{p=1}^3(u_p)~=~u_1+u_2+u_3+u_4+u_5+u_6+u_7+u_8+u_9~-~(u_1+u_2+u_3)~=~u_4+u_5+u_6+u_7+u_8+u_9$

$2$\rm~\displaystyle\sum_{p=4}^9(u_p)~=~\sum_{p=1}^9(u_p)~-~\sum_{p=1}^3(u_p)$
$2$\rm~\displaystyle\sum_{p=4}^9(u_p)~=~\frac{7^9-1}{2}~-~\frac{7^3-1}{2}$
$2$\rm~\displaystyle\sum_{p=4}^9(u_p)~=~\frac{7^9-1-(7^3-1)}{2}$
$2$\rm~\displaystyle\sum_{p=4}^9(u_p)~=~\frac{7^9-7^3-1+1}{2}$
$2$\rm~\displaystyle\sum_{p=4}^9(u_p)~=~\frac{40353607-343}{2}$
$2$\rm~\displaystyle\sum_{p=4}^9(u_p)~=~\frac{40353264}{2}$
$2$\rm~\displaystyle\sum_{p=4}^9(u_p)~=~20176632$

CONCLUSION : $2$\rm~u_4~+~u_5~+~u_6~+~u_7~+~u_8~+~u_9~=~20176632$

b)Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique dont on déterminera la raison, et le premier terme $2$u_1$ .

On sait que si une suite est géométrique, alors le quotient $2$\frac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant pour tout $2$\rm~n~\in~~\mathbb{N}$ .

Or, par un "mécanisme" analogue au précédent, on se rend compte que :
$2$\rm~\displaystyle\sum_{p=1}^{n}(u_p)~-~\sum_{p=1}^{n-1}(u_p)~=~u_n$

En effet : $2$\rm~\displaystyle\sum_{p=1}^{n}(u_p)~-~\sum_{p=1}^{n-1}(u_p)~=~u_1+u_2+.....+u_n~-~(u_1+u_2+.....+u_{n-1})~=~u_n$

De même, on a :
$2$\rm~\displaystyle\sum_{p=1}^{n+1}(u_p)~-~\sum_{p=1}^{n}(u_p)~=~u_{n+1}$

On va donc pouvoir calculer le quotient $2$\frac{u_{n+1}}{u_n}$ :

$3$\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}~=~\frac{\sum_{p=1}^{n+1}(u_p)~-~\sum_{p=1}^{n}(u_p)}{\sum_{p=1}^{n}(u_p)~-~\sum_{p=1}^{n-1}(u_p)}$

$3$\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}~=~\frac{\frac{7^{n+1}-1}{2}~-~\frac{7^n-1}{2}}{\frac{7^n-1}{2}~-~\frac{7^{n-1}-1}{2}}$

$3$\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}~=~\frac{\frac{7^{n+1}-1-(7^n-1)}{2}}{\frac{7^n-1-(7^{n-1}-1)}{2}}$

$3$\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}~=~\frac{7^{n+1}-1-(7^n-1)}{7^n-1-(7^{n-1}-1)}$

$3$\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}~=~\frac{7^{n+1}-7^n-1+1}{7^n-7^{n-1}-1+1}$

$3$\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}~=~\frac{7^{n}(7-1)}{7^{n-1}(7-1)}$
$3$\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}~=~\frac{7^{n}}{7^{n-1}}$
$3$\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}~=~7$

Conclu : La raison de (Un) est 7.

Pour déterminer $2$u_1$ , il suffit de calculer $2$\rm~\displaystyle\sum_{p=1}^1(u_p)$ . On a, par hypothèse :

$2$\rm~\displaystyle\sum_{p=1}^1(u_p)~=~\frac{7^1-1}{2}~=~\frac{6}{2}~=~3$
Tu l'avais d'ailleurs trouvé toi-même précédemment

CONCLUSION : (Un) est une suite géométrique de premier terme $2$u_1=3$ , et de raison 7.

Voili, voilou .

Si tu as des questions, n'hésite surtout pas .

À +

Posté par hisoka (invité)re : Suites géométriques. 12-10-04 à 21:28

Merci beaucoup!
J'ai un autre problème, le titre est progression philharmonique il est aussi dans le forum peut tu m'aider?

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