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Suites géométriques

Posté par
louuane4
28-10-21 à 10:57

modération > **Bonjour***

Pour un nombre de kilomètres annuel parcourus (par exem­ple 15000 km pour une motorisation essence) une décote pour chaque année est calculée suivant le type de véhicule. La décote d'un véhicule est estimée à 16% de sa valeur de l'année précédente.
Un véhicule neuf a été acheté 18500 ? l'an passée

1)calculer en valeur "argus"
2)A) calculer la valeur argus du véhicule après 2 ans puis 3 ans d'achat.
  B) exprimez la valeur Vn de l'argus du véhicule après n années d'achat.
3)quelle est la nature de la suite V1; V2; V3; ;....Vn. valeur des "argus" après 1,2,3,.....n année d'achat?
  précisez sa raison
4)en utilisant le résultat du 2B) calculez la valeur argus après 4 années d'achat.
  que représente alors la valeur argus au regard du prix d'achat neuf ?

Posté par
malou Webmaster
re : Suites géométriques 28-10-21 à 11:31

Bonjour et bienvenue

as-tu oublié de lire ceci ?
A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI

nous attendons donc tes pistes de réflexion, et ce que tu as déjà fait
ensuite, quelqu'un pourra te venir en aide

Posté par
louuane4
Suites géométriques 29-10-21 à 08:46

Bonjour cet exercice de maths me pose beaucoup de problèmes pourriez vous svp m'aidez ?
Pour un nombre de kilomètres annuel parcourus (par exem­ple 15000 km pour une motorisation essence) une décote pour chaque année est calculée suivant le type de véhicule. La décote d'un véhicule est estimée à 16% de sa valeur de l'année précédente.
Un véhicule neuf a été acheté 18500 ? l'an passée

1)calculer en valeur "argus"
2)A) calculer la valeur argus du véhicule après 2 ans puis 3 ans d'achat.
  B) exprimez la valeur Vn de l'argus du véhicule après n années d'achat.
3)quelle est la nature de la suite V1; V2; V3; ;....Vn. valeur des "argus" après 1,2,3,.....n année d'achat?
  précisez sa raison
4)en utilisant le résultat du 2B) calculez la valeur argus après 4 années d'achat.
  que représente alors la valeur argus au regard du prix d'achat neuf ?

Que veut dire argus ?
Si je comprend bien la voiture perd 16% de sa valeur chaque année

*** message déplacé ***

Posté par
Picarresur6
re : Suites géométriques 29-10-21 à 09:02

Bonjour,
Tu as déjà ouvert un sujet sur le même problème. Les multi-posts sont interdits ici. Je te réponds sur ton premier sujet.

*** message déplacé ***

Posté par
Picarresur6
re : Suites géométriques 29-10-21 à 09:07

Bonjour,
Dans la question 1), on te demande de calculer la valeur de la voiture un an après l'achat, c'est-à-dire dire de calculer un certain pourcentage du prix d'achat de la voiture (selon l'énoncé).
Même chose pour la 2) A), après plusieurs années.

Bonne journée,

Posté par
malou Webmaster
re : Suites géométriques 29-10-21 à 09:19

louuane4

attention au règlement....

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

Posté par
louuane4
re : Suites géométriques 29-10-21 à 17:34

Enlever 16% à un nombre c'est le multiplier par 1 -16/100= 0.84.
Après un an, la cote de cette voiture est de 18500 x 0, 84 = 15 540 ?
Après deux ans, la cote est (18500 x 0,84) X 0,84 : 13053,6 ?
Mais comment trouver pour le N année ?

Posté par
Picarresur6
re : Suites géométriques 29-10-21 à 17:48

Soit v_{n+1} = v_n \times 0,84.
v_0 = 18 500
v_1 = 18 500 \times 0,84, ce qui est égal à 15 540 comme tu as dit.
v_2 = v_1 \times 0,84 = 15 540 \times 0,84 = (18 500 \times 0,84) \times 0,84 = 18 500 \times 0,84 \times 0,84 = 18 500 \times 0,84^2.
v_3 = v_2 \times 0,84 = 18 500 \times 0,84 \times 0,84 \times 0, 84 = 18 500 \times 0,84^3.

Ainsi, on en déduit que v_n = 18 500 \times 0,84 \times 0,84 \times \ldots \times 0,84 = v_0 \times 0,84 \times 0,84 \times \ldots \times 0,84 .

Question : 0,84 apparaît combien de fois selon toi dans v_n ? Et comment peut-on récrire cette expression plus simplement ?

Posté par
louuane4
re : Suites géométriques 29-10-21 à 18:15

0,84 apparaît 16 fois ?
Si oui on peut la simplifier : Un = 18500 x 16/0,84 ?

Posté par
Picarresur6
re : Suites géométriques 29-10-21 à 18:18

Reprenons.

0,84 apparaît 0 fois en tant que facteur dans v_0.
0,84 apparaît 1 fois en tant que facteur dans v_1.
0,84 apparaît 2 fois en tant que facteur dans v_2.
Enfin, 0,84 apparaît 3 fois en tant que facteur dans v_3.

Conjecture pour v_n ?

Posté par
louuane4
re : Suites géométriques 29-10-21 à 18:33

Je suis une vraie ville en maths , désolé si je ne comprend pas très vite 😅

0,84 apparaît n fois en tant que facteur dans Un ?

Posté par
Picarresur6
re : Suites géométriques 29-10-21 à 18:39

Oui !

Donc on peut en déduire :
v_n = v_0 \times 0,84 \times 0,84 \times \ldots \times 0,84 où 0,84 apparaît n fois.

Maintenant, quelle est la notation usuelle d'un produit de n facteurs tous égaux à 0,84 ? Autrement dit, comme récrire plus simplement le produit 0,84 \times 0,84 \times \ldots \times 0,84 avec n fois le facteur 0,84 ?

Posté par
louuane4
re : Suites géométriques 29-10-21 à 18:44

Un = Un x 0,84n ?
Je bloque

Posté par
Picarresur6
re : Suites géométriques 29-10-21 à 18:55

0,84 \times 0,84 = 0,84^2
0,84 \times 0,84 \times 0,84 = 0,84^3

Donc 0,84 \times 0,84 \times \ldots \times 0,84 = \ ? (avec n fois 0,84).

Posté par
louuane4
re : Suites géométriques 29-10-21 à 19:05

0,84 x n = 0,84n

Posté par
Picarresur6
re : Suites géométriques 29-10-21 à 19:11

Non, ce n'est pas ça.

Une multiplication reviendrait à faire 0,84n = 0,84 + 0,84 + \ldots + 0,84 n fois.
Ici, ce n'est pas une somme mais un produit.

Posté par
Picarresur6
re : Suites géométriques 29-10-21 à 19:12

a \times a \times \ldots \times a = a^n, ici c'est pareil.

On parle de puissance.

Posté par
louuane4
re : Suites géométriques 29-10-21 à 19:17

La réponse était donc la précédente ?

Posté par
Picarresur6
re : Suites géométriques 29-10-21 à 19:48

0,84 \times 0,84 \times \ldots \times 0,84 = 0,84^n !
Tu connaissais cette notation j'espère ?

Posté par
louuane4
re : Suites géométriques 29-10-21 à 19:50

Oui oui je n'arrivais juste pas à mettre le n en haut sur mon clavier.

Posté par
Picarresur6
re : Suites géométriques 29-10-21 à 19:54

Ah d'accord, excuse-moi.

Si tu n'utilises pas le LaTex, alors tu peux écrire 0,84^n avec un chapeau pour l'exponentiation.

Maintenant, peux-tu trouver la formule générale de v_n ?

Posté par
louuane4
re : Suites géométriques 29-10-21 à 20:49

Cela correspond à quel question ?
Car je ne comprend pas ce qu'est la formule générale

Posté par
Picarresur6
re : Suites géométriques 29-10-21 à 20:58

Question 2) B).

Posté par
louuane4
re : Suites géométriques 29-10-21 à 21:19

Quel raisonnement dois-je faire pour le trouver ?

Posté par
Picarresur6
re : Suites géométriques 29-10-21 à 21:31

Il suffit de continuer le raisonnement déjà commencé.

On a v_{n+1} = v_n \times 0,84 car la valeur de la voiture est égale à 84% de sa valeur l'année précédente.
On pose v_0 = 18500.
On a donc v_1 = 18500 \times 0,84
v_2 = v_1 \times 0,84 = (18 500 \times 0,84) \times 0,84 = 18500 \times 0,84 \times 0,84 = 18 500 \times 0,84^2.
v_3 = v_2 \times 0,84 = (18 500 \times 0,84^2) \times 0,84 = 18500 \times 0,84 \times 0,84 \times 0,84 = 18500 \times 0,84^3

Pourrais-tu généraliser au rang v_n ?

Posté par
louuane4
re : Suites géométriques 29-10-21 à 21:54

Un = 18500 x 0,84^n

Posté par
Picarresur6
re : Suites géométriques 29-10-21 à 21:55

Oui c'est ça !

Du coup, tu peux essayer de résoudre la 3) ?

Posté par
louuane4
re : Suites géométriques 30-10-21 à 08:32

La nature est une suite géométrique ?

Posté par
Picarresur6
re : Suites géométriques 30-10-21 à 08:36

Oui, et peux-tu préciser sa raison ?

Posté par
louuane4
re : Suites géométriques 30-10-21 à 09:07

C'est une suite géométrique de raison 0,84

Posté par
Picarresur6
re : Suites géométriques 30-10-21 à 09:10

Exactement !

Du coup, tu as tous les éléments pour répondre à la 4).

Posté par
louuane4
re : Suites géométriques 30-10-21 à 15:01

(18500 x 0,84^4) = 9210€
Donc la valeur argus représente la moitié au regard du prix d'achat neuf en effet 18500-9210 = 9290€

Posté par
louuane4
re : Suites géométriques 30-10-21 à 15:11

J'ai une dernière question ,
En déduire après combien d'Annees la valeur du véhicule représente le quart de sa valeur neuf ?

Posté par
Picarresur6
re : Suites géométriques 30-10-21 à 15:12

On dira plutôt "environ la moitié" du coup.

Mais sinon, bravo, vous avez terminé l'exercice !



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