dsl ms les 2 3 4 5 6 7 sont des puissances si vous aviez pas compris.Merci

Bonjour,

La somme à calculer est la somme des 8 premiers termes d'une suite
géométrique de premier terme 1 et de raison X/(X+2).
En utilisant la formule :
S=(a-bq)/(1-q) où a est le premier terme, b le dernier et q la raison.
On a :
S=(1-(X/X+2)⁸)/(1-(X/X+2))
S=((X+2)⁸-X⁸)/2(X+2)⁷.

Pour montrer que S=0, je suppose qu'il faut utiliser une autre information
qui doit être indiquée dans ton énoncé.

@+

Il n'y a rien à prouver.
Peut-être faut-il trouver les valeurs de x qui satisfont l'équation.

Pour faciliter l'écriture, posons y = x/(x+2)

1 + y + y² + y³ + ...y^7 = 0   (1)

Le membre de gauche est la somme de 8 termes en progression géométrique
de raison y et de premier terme = 1.
->

(y^8 - 1)/(y - 1) = 0
par (1), on vérifie que y = 1 n'est pas solution -> on simplifie:

y^8 - 1 = 0

y^8 = 1  est équivalent à (1) à condition d'exclure la solution
y = 1.

Il s'agit donc de trouver les racine 8 ième de  1 (à l'exclusion
de y = 1)

On a y = cos(k.2Pi/8) + i.sin(k.2Pi/8)  avec k entier de 1 à 7 (pas
le k = 0 puisque y différent de 1)

y = cos(k.Pi/4) + i.sin(k.Pi/4)

k = 1 -> y1 = (1/V2) + i/V2     avec V pour racine carrée.
k = 2 -> y2 = i
k = 3 -> y3 = -(1/V2) + i/V2
k = 4 -> y4 = -1
k = 5 -> y5 = -(1/V2) - i/V2
k = 6 -> y = -i
k = 7 -> y = (1/V2) - i/V2

a)
Avec y1 = (1/V2) + i/V2
-> x/(x+2) = (1/V2) + i/V2
x = x/V2 + ix/V2 + V2 + i.V2
x(1 - (1/V2) - (i/V2)) = V2(1 + i)
x(V2 - 1 - i) = 2(1+i)
x = 2(1+i)/(V2 - 1 - i)
x = 2(1+i)(V2 - 1 + i)/[(V2 - 1 - i).(V2 - 1 + i)]
x = 2(V2 - 1 - 1 + i(V2 - 1 + 1))/[(V2-1)²+1]
x = 2(V2 - 2 + i.V2)/[(V2-1)²+1]
x = 2(V2 - 2 + i.V2)/[2 - 2V2 + 1 +1]
x = 2(V2 - 2 + i.V2)/(4 - 2V2)
x = (V2 - 2 + i.V2)/(2 - V2)

x = -1 + (1+V2).i      est une solution qui convient.
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Je te laisse chercher les autres à partir des valeurs trouvées pour
y2 à y7.
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Sauf distraction.