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Suites géométriques et arithmétiques

Posté par
maelys31
02-04-21 à 17:43

Bonjour,Je suis bloquée sur l'exercice suivant:
Soit la suite (un) définie par u0 et n, un+1=4un+9.
1- Cette suite est-elle géométrique? Est-elle arithmétique?
2-Déterminer la valeur de u0 pour que cette suite soit constante.
3-Soit la suite (vn) définie par n, vn=un-.
a)Montrer que cette suite est géométrique.
b)On suppose dorénavant que u0=5. Donner alors l'expression de vn puis de un en fonction de n.
Voici ce que j'ai écrit:
1- La définition par récurrence d'une suite géométrique est un+1=un×q,aucun réel ne peut être ajouté au terme un×q. La suite n'est donc pas géométrique.
La définition par récurrence d'une suite arithmétique est un+1=un+r, le terme un ne doit pas être multiplié par un réel. La suite n'est donc pas arithmétique.

2-Pour que cette suite soit constante u0=u1.
u0=4u0+9
u0= -3.

3-a) On suppose que la suite (un) est constante.
un=vn+.
vn+1=un+1-
vn+1= 4(vn+)+9-
vn+1=4vn+4+9-
vn+1=4vn+3+9.
C'est ici que j'ai un problème je ne sais pas à quoi est égal . Ais-je fais une erreur ou oublié quelque chose?
Merci

Posté par
hekla
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 18:17

Bonjour

Il serait aussi bien de calculer les 3 premiers termes de la suite et dire ensuite que la différence entre
deux termes consécutifs n'étant pas constante la suite n'est pas arithmétique le quotient entre deux
termes consécutifs non plus donc elle n'est pas géométrique.

Pour que  la suite soit constante il faut que pour tout n   u_{n+1} =u_n  donc en particulier u_1=u_0

u_0=-3 d'accord

v_n=u_n-\alpha

 v_{n+1}=u_{n+1}-\alpha=4u_n+9 -\alpha =4\left(u_n-\dfrac{\alpha-9}{4}\right)

Pour que la suite soit géométrique on doit donc avoir \alpha=\dfrac{\alpha-9}{4}

À résoudre

Posté par
maelys31
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 18:27

hekla @ 02-04-2021 à 18:17


 v_{n+1}=u_{n+1}-\alpha=4u_n+9 -\alpha =4\left(u_n-\dfrac{\alpha-9}{4}\right)

Pour que la suite soit géométrique on doit donc avoir \alpha=\dfrac{\alpha-9}{4}

À résoudre

Merci beaucoup, mais je n'ai pas très bien compris cette partie de votre réponse...

Posté par
hekla
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 18:37

La suite est géométrique  si chaque terme se déduit du précédent  en le multipliant par un même nombre appelé la raison

On doit donc avoir v_{n+1}=qv_n   donc ici on doit donc avoir v_{n+1}=4v_n =4(u_n-\alpha)

On a montré que l'on avait v_{n+1}=4\left(u_n-\dfrac{\alpha-9}{4}\right)


par conséquent u_n-\alpha doit être égal à u_n-\dfrac{\alpha-9}{4}

Il en résulte que l'on doit avoir \alpha =\dfrac{\alpha-9}{4}

Posté par
maelys31
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 18:42

D'accord,merci beaucoup pour votre explication

Posté par
matheuxmatou
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 18:44

bonsoir

si je peux me permettre, je pense que l'énoncé de la question 2 n'a pas été recopié mot pour mot

Posté par
maelys31
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 18:49

Bonsoir,je viens de revoir ma question mais l'énoncé de la question 2- a bien été recopier correctement. Je peux en faire une photo si vous voulez...

Posté par
hekla
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 18:53

Ne le faites pas, car les scans sont interdits sur le site

Posté par
maelys31
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 18:54

D'accord,vous pensez qu'il y aurait une erreur dans l'énoncé de cet exercice?

Posté par
matheuxmatou
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 19:01

alors la question 3 est incomplète car on te parle d'un nombre qui n'est absolument pas présenté ... on ne sait pas qui c'est ! un réel ? un entier ? ...

bref, il manque un truc

Posté par
hekla
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 19:02

Je ne vois pas l'erreur s'il y en a une \alpha=-3 mais par la suite
on prend  u_0=5 la suite n'est pas constante

Posté par
hekla
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 19:04

Il est présenté  dans la mesure où on définit la suite (v_n)  par v_n=u_n-\alpha  implicitement c'est un nombre réel.

Posté par
matheuxmatou
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 19:04

ce que je dis, c'est que dans un énoncé bien fait, chaque notation est présentée à un moment donné !

par exemple :

soit un nombre réel et vn la suite définie par ...

ici on a un qui sort du chapeau dans la définition d'une suite auxiliaire... donc soit l'énoncé est mal fichu, soit il est mal recopié

Posté par
matheuxmatou
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 19:05

un énoncé n'a pas à être implicite, il a à être précis

Posté par
matheuxmatou
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 19:06

et à partir moment où n'est pas présenté, voire précisé, la question 3a est abracadabrantesque !

il faut à ce moment là écrire

déterminer pour quelle valeur de la suite vn = ... est géométrique

Posté par
matheuxmatou
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 19:08

donc pour résumer, pour la question 3a ait un sens posée ainsi, l'entame de la question 3 doit être :

3 : soit la valeur trouvée dans la question précédente et v la suite ...

3a : blabla...

Posté par
maelys31
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 19:08

matheuxmatouvous avez raison,je pense que c'est l'énoncé qui est mal fichu.

Posté par
maelys31
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 19:10

On a du faire une erreur en écrivant l'énoncé de cet exercice...

Posté par
hekla
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 19:12

Non \alpha n'est pas la valeur trouvée à la question précédente

Posté par
matheuxmatou
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 19:13

hekla

ah ben si

résous ton équation de 18:37

Posté par
matheuxmatou
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 19:17

en fait je pense que c'est tout simplement la question 2 qui est incomplète :

2 : Déterminer la valeur de u0 pour que cette suite soit constante.

Posté par
hekla
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 19:19

Cela a été effectué voir  19:02

Posté par
matheuxmatou
re : Suites géométriques et arithmétiques 02-04-21 à 19:20

donc est bien la valeur trouvée dans la question précédente qu'il faudrait donner  à u0 pour que la suite u soit constante ...

Posté par
hekla
re : Suites géométriques et arithmétiques 03-04-21 à 10:17

Bonjour

Avez-vous résolu l'équation \alpha =\dfrac{\alpha-9}{4} ?

Avez-vous pu finir l'exercice ?

Posté par
maelys31
re : Suites géométriques et arithmétiques 03-04-21 à 17:44

Bonjour,oui j'ai réussi.
=-3
vn+1=4(un-3)=4(vn+3-3)=4vn.
La suite (vn) est donc géométrique de raison 4.
b)u0=5.
v0=u0+3=5+3=8.
vn=8×4n.
un=vn-3=8×4n-3.
Merci infiniment pour votre aide hekla.

Posté par
hekla
re : Suites géométriques et arithmétiques 03-04-21 à 18:39

Bonjour

une petite remarque 8=2^3  et 4=2^2

donc on peut alors écrire v_n=8\times 4^n sous la forme v_n=2^{2n+3}

De rien

Posté par
maelys31
re : Suites géométriques et arithmétiques 03-04-21 à 18:40

D'accord je n'y avais pas pensé. Merci



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