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Suites & limites terminale

Posté par
jeancham 20-02-21 à 00:27

Bonjour,
Je souhaite solliciter votre aide à propos d'un exercice de terminale concernant les suites et les limites.
Je bloque déjà sur la première question, voici le sujet :
nom de l'exo : Constante d'Euler
l'objectif est de prouver que les suites  u_n et v_n, définies pour tout entier naturel n non nul par :

u_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\ln (n)
et v_n=u_n-\frac{1}{n} , convergent vers une limite commune , appelée constante d'Euler.

1.a.) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul :
u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}+\ln (\frac{n}{n+1})

J'ai donc commencé par poser :  u_{n+1}=\frac{1}{n+1}-\ln (n+1)


J'ai ensuite effectué l'opération  u_{n+1}-u_n
= \frac{1}{n+1}-\ln (n+1)-\frac{1}{n}+\ln (n)

=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+\ln (\frac{n}{n+1})

Je ne retombe pas au résultats attendu, j'ai le  -\frac{1}{n} en trop, je ne comprends pas pourquoi.
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer mon erreur s'il vous plaît ?

Merci d'avance pour vos réponses.
Jean.

Posté par
Zormuchere : Suites & limites terminale 20-02-21 à 00:45

Bonsoir

Citation :
J'ai donc commencé par poser :  u_{n+1}=\frac{1}{n+1}-\ln (n+1)


c'est faux : u_{n+1}  doit aussi comporter une somme, qui va de 1 à \frac{1}{n+1}

Posté par
jeanchamre : Suites & limites terminale 20-02-21 à 00:50

Bonsoir,

donc c-à-d :  1+\frac{1}{1+1}+\frac{1}{2+1}+...+\frac{1}{n+1}-\ln (n+1) ?

Posté par
jeanchamre : Suites & limites terminale 20-02-21 à 00:54

ah non plutôt :  \frac{1}{1+1}+\frac{1}{2+1}+\frac{1}{3+1}+...+\frac{1}{n+1}-\ln (n+1)  ?

Posté par
Zormuchere : Suites & limites terminale 20-02-21 à 01:20

L'expression de u_n est  1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}-\ln(n)

le premier terme est 1, qui ne dépend pas de n, donc il n'y a aucune raison que le premier terme change si on calcule u_n ou u_{n+1}
c'est le dernier terme (et par conséquent aussi le nombre de termes) qui change

Posté par
jeanchamre : Suites & limites terminale 20-02-21 à 01:28

jeancham @ 20-02-2021 à 00:50

Bonsoir,

donc c-à-d :  1+\frac{1}{1+1}+\frac{1}{2+1}+...+\frac{1}{n+1}-\ln (n+1) ?


donc cela correspondrait à ce qui est écrit juste en haut ?

car je croyais que le "1" était 1/1 sous-entendu le 1 du dénominateur dépendait de n, mais je me rends compte que ce n'est pas logique.

Posté par
jeanchamre : Suites & limites terminale 20-02-21 à 01:37

ce que je ne comprends pas, c'est que si le premier terme "1" ne dépend pas de n pourquoi on n'aurait pas  u_n = 1+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}-\ln (n) car la suite u(n) est valable pour tout entier naturel n non nul, donc si l'on commence après le premier terme "1" (qui ne change pas) on a 1/1 avec le 1 du dénominateur qui correspond à n

Posté par
Zormuchere : Suites & limites terminale 20-02-21 à 02:15

En fait je n'avais pas vu mais ton résultat de 00:50 est bon. C'est juste qu'il n'est pas formulé de façon intuitive
Il n'est pas question d'ajouter 1 à tous les dénominateur, mais simplement d'ajouter un terme supplémentaire à somme

ainsi, on a  u_{n+1} = 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}-\ln(n+1)

Posté par
jeanchamre : Suites & limites terminale 20-02-21 à 02:28

très bien, donc on a :
u_{n+1}-u_n=1+\frac{1}{n+1}-\ln (n+1)-(1+\frac{1}{n}-\ln (n))

=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}-\ln (n+1)+\ln (n)

=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+\ln (\frac{n}{n+1})

on a toujours le -\frac{1}{n} en trop

Posté par
Zormuchere : Suites & limites terminale 20-02-21 à 02:40

Je ne comprends pas pourquoi tu écris :

Citation :
u_{n+1}-u_n=1+\frac{1}{n+1}-\ln (n+1)-(1+\frac{1}{n}-\ln (n))

  
où sont passés tous les termes de  u_n   et  u_{n+1}  ?

Posté par
jeanchamre : Suites & limites terminale 20-02-21 à 03:16

Zormuche @ 20-02-2021 à 02:15

En fait je n'avais pas vu mais ton résultat de 00:50 est bon. C'est juste qu'il n'est pas formulé de façon intuitive
Il n'est pas question d'ajouter 1 à tous les dénominateur, mais simplement d'ajouter un terme supplémentaire à somme

ainsi, on a  u_{n+1} = 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}-\ln(n+1)


Je n'avais pas compris cela ! Pourquoi doit-on ajouter \frac{1}{n} alors qu'on a déjà \frac{1}{n+1} pour l'expression de u_{n+1}  ?

Car pour moi  :  u_{n+1} = 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n+1}-\ln(n+1)

Posté par
Zormuchere : Suites & limites terminale 20-02-21 à 03:55

Les points de suspension signifient qu'il y a un nombre variable de termes qu'on n'écrit pas parce qu'on considère qu'ils se déduisent de façon suffisamment logique

L'énoncé te donne u_n = 1+1/2+1/3... Et tu es censé comprendre que la somme ne s'arrête pas là, on ajoute aussi 1/4 puis 1/5, etc jusqu'à arriver à 1/n

Donc si on fait la même chose pour u_(n+1), on va aller jusqu'à 1/(n+1). En faisant ça, à un moment, on ajoute 1/n obligatoirement

Posté par
jeanchamre : Suites & limites terminale 20-02-21 à 13:30

Bonjour,

Donc cela signifierait que cette écriture :  1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n+1}-\ln (n+1)  sans ajouter le  \frac{1}{n}  est fausse ? Car c'est ce que j'avais écrit dans ma réponse de 00:50.

C'est donc différent de :  1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}-\ln (n+1)  ?

Posté par
Zormuchere : Suites & limites terminale 20-02-21 à 16:10

Non, les deux écritures ci-dessus sont équivalentes
Dans la première, le 1/n est caché dans les points de suspension

Posté par
jeanchamre : Suites & limites terminale 21-02-21 à 19:39

Très bien,
merci en tout cas pour tes indications !

Posté par
Zormuchere : Suites & limites terminale 21-02-21 à 19:41

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