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Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé

Posté par
GertrudeParis
28-09-21 à 21:27

Bonsoir/jour à toutes et à tous,
J'espère que vous vous portez bien. J'ai un exercice sur le chapitre des suites.
Je dois joindre l'exercice en photo car le forum n'accepte pas mon texte.
Merci beaucoup.

** image supprimée **

Posté par
Yzz
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 28-09-21 à 21:35

Salut,

Comment ça, "le forum n'accepte pas mon texte" ?
Tu dois taper les premires ligne de ton exo ; puis dire ce que tu as déjà fait.

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 28-09-21 à 21:37

Bonsoir,
Comme vous pouvez le voir, l'exercice est très long. Il y a forcément un terme que le site n'accepte pas: Ca m'affiche qu'il ne faut pas mettre les mots comme "urgent, vite..." Alors que j'en ai pas mit

Posté par
Yzz
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 28-09-21 à 21:39

Je ne vois pas ça dans les premières lignes de cet exercice.
Tu dois taper les premières lignes, pour qu'une recherche ultérieure soit efficace.
Et dire aussi ce que tu as déjà fait, et où tu bloques...

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 28-09-21 à 21:40

On se propose d'étudier l'évolution de la population de truites (les proies) et de brochets (les prédateurs) dans la Meuse.
On note Tn et Bn une estimation du nombre de truites et de Brochets respectivement dans la Meuse le 1er juin de l'année  2019 + n (où n désigne un nombre entier naturel).
On estime qu'entre le 1er juin 2019+n et le 1er juin de l'année suivante:

-  Le nombre de truites augmente de 10% mais lors des Tn x Bn rencontres possibles entre les deux espèces, seules 0,1% ont effectivement lieu et à chacune d'entre elles, la truite est dévorée par le brochet.
-  Parmi les Bn brochets, 5% meurent uniquement à cause de leur sensibilité à la toxicité de la Meuse. Toutefois, le fait de dévorer des truites permet aux brochets de se reproduire. Ainsi, le nombre de nouveaux brochets est estimé à  50% du nombre de truites dévorées.

1. Cas particuliers
Au 1er juin 2019, dans le secteur étudié, on avait T0= 50 et B0= 200.
a. Calculer le nombre de rencontres possibles entre une truite et un brochet lors de la première année.
b. Calculer le nombre de truites dévorées lors de la première année.
c. Calculer T1 et B1.


2.Etude des suites
a. Justifier que pour tout entier naturel n :
-  Tn+1 = 1,1Tn - 0,001 Tn x Bn
-  Bn+1 = 0,95Bn + 0,0005 Tn x Bn

b. En l'absence de prédateur, comment évolue l'effectif des proies? Exprimer Tn+1 en fonction de Tn , puis Tn en fonction de n et de T0. En déduire la limite de la suite (Tn). ​Interpréter le résultat.

c. En l'absence de proie, comment évolue l'effectif des prédateurs? Exprimer Bn+1 en fonction de Bn , puis Bn en fonction de n et de B0.
En déduire la limite de la suite (Bn). Interpréter le résultat.

d. Vérifier que pour tout entier naturel n,
-  Tn+1 - Tn = Tn(0,1-0,001Bn)
-  Bn+1 - Bn = Bn(-0,05+0,0005Tn)

e. En supposant qu'il y ait des proies et des prédateurs, quels auraient dû être les nombres de truites et de brochets initialement dans la Meuse pour que ceux-ci soient constants?

3. Simulation à l'aide du tableur
a) Réaliser la feuille de calcul ci contre. (cf image)

b) Quelles formules doit-on saisir dans les cellules B3 et C3 pour calculer respectivement T1 et B1?
Copier ensuite vers le bas jusqu'à la ligne 202 (soit 1er juin 2219).

c) Représenter l'évolution du nombre de truites ainsi que l'évolution du nombre de brochets en fonction du temps.

d) Sur un autre graphique, représenter l'évolution du nombre de truites en fonction du nombre de brochets en représentant les nuages de points (Tn; Bn). Qu'observe-t-on?

e) Faire varier les effectifs initiaux. L'évolution est-elle fortement influencée par ceux-ci?

f) Illustrer le résultat de la question 2.e).

Posté par
Yzz
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 28-09-21 à 21:42

Manifestement, ça passe...

Et maintenant,

Citation :
Et dire aussi ce que tu as déjà fait, et où tu bloques...

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 28-09-21 à 21:42

Je bloque aux questions suivantes:
a. Calculer le nombre de rencontres possibles entre une truite et un brochet lors de la première année.
b. Calculer le nombre de truites dévorées lors de la première année.

Je ne vois pas comment calculer...?

Posté par
Yzz
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 28-09-21 à 21:45

Tiens donc.
Pour la a :

Citation :
Au 1er juin 2019, dans le secteur étudié, on avait T0= 50 et B0= 200

Citation :
lors des Tn x Bn rencontres possibles entre les deux espèces

Pour la b :
Citation :
seules 0,1% ont effectivement lieu et à chacune d'entre elles, la truite est dévorée par le brochet

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 28-09-21 à 21:50

a) On fait donc T0 x B0
A.N: 50 x 200= 10000.

b) 0,1 x10000 /100 =10

C'est ca??

Posté par
Yzz
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 28-09-21 à 21:54

Oui.

Posté par
Yzz
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 28-09-21 à 21:55

Je ne peux pas rester.
Essaye d'avancer, quelqu'un prendra peut-être la suite.
Sinon je repasse ici demain matin  

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 28-09-21 à 21:55

c) c) T0= 50 donc T1= T0 x q^1
On sait que le nombre de truites augmente de 10%. Ce qui correspond à 1+ 10/100 = 1,1

Donc T1= 50 x 1,1^1= 55

Il ya pas un problème?

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 28-09-21 à 21:57

On nous dit:

Le nombre de truites augmente de 10% mais lors des Tn x Bn rencontres possibles entre les deux espèces, seules 0,1% ont effectivement lieu et à chacune d'entre elles, la truite est dévorée par le brochet.

Mais comment introduire le 0,1% des truites dévorées??

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 28-09-21 à 22:00

D'accord merci de votre précieuse aide.
Nul que je suis en maths, j'en aurais bien besoin pour la suite
En tout cas j'essaie de m'avancer!
Je vous dirais la suite demain!!

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 28-09-21 à 22:00

Si quelqu'un veux prendre la relais, je suis encore là

Posté par
Yzz
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 29-09-21 à 07:16

GertrudeParis @ 28-09-2021 à 21:57

On nous dit:

Le nombre de truites augmente de 10% mais lors des Tn x Bn rencontres possibles entre les deux espèces, seules 0,1% ont effectivement lieu et à chacune d'entre elles, la truite est dévorée par le brochet.

Mais comment introduire le 0,1% des truites dévorées??
Il suffit de les retirer !
On a donc :
T1 = T0*1,1-0,001*T0*B0

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 29-09-21 à 07:24

Re Bonjour!

Mais pourquoi faites vous T0 x B0? C'est pour la probabilité des rencontres?

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 29-09-21 à 07:28

Pour B1, on nous dit:

Parmi les Bn brochets, 5% meurent uniquement à cause de leur sensibilité à la toxicité de la Meuse. Toutefois, le fait de dévorer des truites permet aux brochets de se reproduire. Ainsi, le nombre de nouveaux brochets est estimé à  50% du nombre de truites dévorées.

On fait donc:

B1= B0 * 0,05 + 0,5 *Tn x Bn

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 29-09-21 à 07:29

Si cela ne vous dérange pas, on peut reprendre l'après-midi car je dois aller en cours?

Posté par
Yzz
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 29-09-21 à 07:32

Oui bien sûr! (mais pas avant 15h pour moi...)

Posté par
Yzz
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 29-09-21 à 07:32

Citation :
On fait donc:

B1= B0 * 0,05 + 0,5 *T0 x B0

Posté par
Yzz
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 29-09-21 à 07:34

GertrudeParis @ 29-09-2021 à 07:24

Re Bonjour!

Mais pourquoi faites vous T0 x B0? C'est pour la probabilité des rencontres?
Je ne "fais pas T0 x B0 , je retire de la population de truites celles qui se sont fait bouffer par les brochets, et il y en a 0,001*T0*B0 , vu dans la question précédente !

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 29-09-21 à 07:49

D'apres les calculs, j'obtiens 5025

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 29-09-21 à 07:51

Mais si vous retirer la population de truites bouffées  par les brochets,  pour mettre T0*B0 pour B1?

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 29-09-21 à 20:24

Y'a t'il quelqu'un?

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 29-09-21 à 20:51

J'ai besoin d'aide svp

Posté par
Yzz
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 29-09-21 à 21:20

GertrudeParis @ 29-09-2021 à 07:51

Mais si vous retirer la population de truites bouffées  par les brochets,  pour mettre T0*B0 pour B1?
Je ne comprends pas ta question.
Peux-tu la reformuler ?

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 29-09-21 à 21:28

Ce que j'essai de dire, c'est que j'ai compris que vous retirez de la population de truites celles qui se sont fait bouffer par les brochets,
Mais pourquoi faire B1= B0 * 0,05 + 0,5 *T0 x B0 alors que les brochets ne se font pas dévorer?

Posté par
Yzz
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 29-09-21 à 21:43

Ahhh oui, excuses !!!
Gros mélange entre les B et les T !!!

C'est : T1 = T0*1,1-0,001*T0*B0

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 29-09-21 à 21:55

Ah je me disais aussi!

Mais du coup via sera quoi pour B car on nous dit que:

Parmi les Bn brochets, 5% meurent uniquement à cause de leur sensibilité à la toxicité de la Meuse. Toutefois, le fait de dévorer des truites permet aux brochets de se reproduire. Ainsi, le nombre de nouveaux brochets est estimé à  50% du nombre de truites dévorées.

B1= B0 * 0,05 + 0,5 * 10

Posté par
Yzz
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 29-09-21 à 22:07

"Parmi les Bn brochets, 5% meurent" : il en reste donc 95 % !
Donc c'est plutôt : B1= B0 * 0,95 + 0,5 * 10

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 30-09-21 à 13:16

D'accord, j'ai compris

Maintenant, il faut justifier que pour tout entier naturel n :
-  Tn+1 = 1,1Tn - 0,001 Tn x Bn
-  Bn+1 = 0,95Bn + 0,0005 Tn x Bn

T1 = T0*1,1-0,001*T0*B0

B1= B0 * 0,95 + 0,5 * 10

On remplace B0 et T0 par B1 et T1 mais je pense qu'il y a un problème avec B1  et que ça doit être:

B1= B0 *0,95+0,0005* Tn* Bn
et T1= T0* 1,1- 0,001* Tn *Bn

Pourquoi c'est multiplié par 0,0005?

Posté par
Yzz
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 30-09-21 à 21:23

Citation :
B1= B0 *0,95+0,0005* Tn* Bn
et T1= T0* 1,1- 0,001* Tn *Bn
Non, c'est bien
B1= B0 *0,95+0,0005* T0* B0
et T1= T0* 1,1- 0,001* T0 *B0

Le texte :
Citation :
-  Le nombre de truites augmente de 10% mais lors des Tn x Bn rencontres possibles entre les deux espèces, seules 0,1% ont effectivement lieu et à chacune d'entre elles, la truite est dévorée par le brochet.
Donc : si Tn est la population de truites à l'année n, alors à l'année n+1 : elle augmente de 10% : donc 1,1Tn , et 0,1% des TnxBn disparaissent, donc -0,001Tn*Bn
Au final on a bien, à l'année n+1 :   T(n+1)= Tn* 1,1- 0,001* Tn *Bn
Citation :
Parmi les Bn brochets, 5% meurent uniquement à cause de leur sensibilité à la toxicité de la Meuse. Toutefois, le fait de dévorer des truites permet aux brochets de se reproduire. Ainsi, le nombre de nouveaux brochets est estimé à  50% du nombre de truites dévorées.
Donc : si Bn est la population de brochets à l'année n, alors à l'année n+1 : elle diminue de 5% : donc Bn*0,85 , auxquels s'ajoute 50% du nombre de truites dévorées, c'est à dire 50% de 0,1*Tn*Bn, donc 0,5*0,001*Tn*Bn, soit 0,0005Tn*Bn.
Au final on a bien, à l'année n+1 :   B(n+1)= Bn *0,95+0,0005* Tn* Bn

Posté par
Yzz
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 30-09-21 à 21:25

Rectif : elle diminue de 5% : donc Bn*0,95  bien sûr  

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 30-09-21 à 22:19

Vous etes juste incroyable!!!
Je vous joindrais demain si tout va bien!!
Très bonne soirée a vous!

Posté par
Yzz
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 01-10-21 à 06:33

Bonne journée à toi  

Posté par
Yzz
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 01-10-21 à 06:35

... et une autre petite rectif (je tape trop vite ! ) :

auxquels s'ajoute 50% du nombre de truites dévorées, c'est à dire 50% de 0,1% de Tn*Bn, donc 0,5*0,001*Tn*Bn

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 02-10-21 à 20:15

Bonsoir,
J'espère que vous allez bien!!!
Je viens vers vous car j'ai un petit soucis:
J'ai réussi à faire le reste de l'exo mais la première partie me tracasse, la voici:

On se propose d'étudier l'évolution de la population de truites (les proies) et de brochets (les prédateurs) dans la Meuse.
On note Tn et Bn une estimation du nombre de truites et de Brochets respectivement dans la Meuse le 1er juin de l'année  2019 + n (où n désigne un nombre entier naturel).
On estime qu'entre le 1er juin 2019+n et le 1er juin de l'année suivante:

-  Le nombre de truites augmente de 10% mais lors des Tn x Bn rencontres possibles entre les deux espèces, seules 0,1% ont effectivement lieu et à chacune d'entre elles, la truite est dévorée par le brochet.
-  Parmi les Bn brochets, 5% meurent uniquement à cause de leur sensibilité à la toxicité de la Meuse. Toutefois, le fait de dévorer des truites permet aux brochets de se reproduire. Ainsi, le nombre de nouveaux brochets est estimé à  50% du nombre de truites dévorées.

1. Cas particuliers
Au 1er juin 2019, dans le secteur étudié, on avait T0= 50 et B0= 200.
a. Calculer le nombre de rencontres possibles entre une truite et un brochet lors de la première année.
b. Calculer le nombre de truites dévorées lors de la première année.
c. Calculer T1 et B1.

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 02-10-21 à 20:18

On a répondu aux questions mais.... il ya quelque chose qui cloche.
En effet, pour répondre à la a), on a utilisé T0 et B0, ce qui correspond au nombre de truites et de brochets au 1er juin 2019.
Or la question c'est:
"Calculer le nombre de rencontres possibles entre une truite et un brochet en un an" et non "Calculer le nombre de rencontres possibles entre une truite et un brochet lors de la première année"

Que faire? Je ne comprends absolument pas

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 02-10-21 à 20:20

Bete quelle suis, j'ai garé les notions importantes au lieu de les mettre en gras

On a répondu aux questions mais.... il ya quelque chose qui cloche.
En effet, pour répondre à la a), on a utilisé T0 et B0, ce qui correspond au nombre de truites et de brochets au 1er juin 2019.
Or la question c'est:
"Calculer le nombre de rencontres possibles entre une truite et un brochet en un an" et non "Calculer le nombre de rencontres possibles entre une truite et un brochet lors de la première année"

J'ai fais une faute de frappe !!

Que faire? Je ne comprends absolument pas

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 02-10-21 à 20:21

Mon clavier m'humilie.....

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 02-10-21 à 21:49

Quelqu'un peut m'aider je suis coincé

Posté par
Yzz
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 03-10-21 à 07:04

en un an" ou "lors de la première année" :
En fait c'est  la même chose !
C'est tout le problème de ces exos de maths "contextualisés" : l'auteur cherche à faire des périphrases pour éviter les répétitions, pour avoir un texte "présentable" en Français...
Faut pas chercher à rester trop près du texte, juste en comprendre l'esprit  

Posté par
GertrudeParis
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 03-10-21 à 09:44

Vous me rassurez beaucoup!!
Merci beaucoup de m'avoir aidé, et ce malgré mes nombreuses questions!
Si j'ai un soucis je reviendrais
Mais pour le moment, tout est bon. Bonne journée!

Posté par
Yzz
re : Suites: Modèle proie-prédateur discrétisé 03-10-21 à 13:00

De rien, bonne journée à toi aussi !  



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