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suites monotones
Bonsoir,
voila un exercice que je n'arrive pas à résoudre
Soit U(n) la suite définie dans N par u0=4 et pour tout n dans N , u n+1= 1/4 un + 5
1) Démontrer par récurrence que la suite (Un) est croissante et majorée par 7
2)En déduire que (Un) est convergente et déterminer sa limite
J'ai juste réussi en calculant u1,u2,u3,u4 à dire que u1<u2<u3 donc qu'elle est croissante
mais j'arrive pas à le faire par récurrence ....
Merci d'avance
Bonsoir
1) Connais tu le principe de réccurence ? montre que U(n+1)-U(n)> 0 est vrai pour n=0 et que si elle est vraie au rang n, elle l'est au rang n+1
Pareil pour la majoration
2) (Un) est croissante et majorée donc convergente (théorème usuel). Ainsi (Un) vérifie le théorème du point fixe
Merci j'ai réussi tout le 1) il ne reste plus qu'à déterminer sa limite . Je dois faire comment ?
Bon alors voyons ça comme ça :
(Un) converge. En appelant l sa limite, on a alors
donc
c'est à dire :
Mais comme (Un) converge vers l, on a aussi
Par unicité de la limite on en déduit que l vérifie l'équation
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