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Suites n°3

Posté par
julerkgm
19-04-18 à 15:16

voici l'énoncée : Soit Un et Vn les suites définie sur N* par : Un=  1/1+n +1/2+n + .....+1/n+n et Vn = Un +1/2n

1) Écrire l'expression de Un à l'aide du symbole (somme)
2) Calculer u1,2,3 puis v1,2,3
3) Établir que pour tout entier naturel n non nul , on a : Un+1-Un = 1/(2n+1)(2n+2),
en déduire le sens de variation de la suite Un
4) Démontrer que la suite Vn est décroissante

1) somme = [(1/1+n) (+1/n+n)] /2 * ((1/1+n) -(1/n+n) +1)
2) je dois utiliser la formule suivante : Un= U0+N*R
mais je ne sais pas comment faire à partir d'une somme

Posté par
malou Webmaster
re : Suites n°3 19-04-18 à 15:25

je crois qu'il manque des parenthèses

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q27 - Comment bien écrire une formule ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suites n°3 19-04-18 à 15:26

Bonjour,
important les parenthèses
Un= 1/(1+n) +1/(2+n) + .....+1/(n+n)
Et alors ? tu en es où et qu'est-ce que tu n'arrives pas à faire ?

Posté par
julerkgm
re : Suites n°3 19-04-18 à 15:29

bonjour ,
excusez-moi
je ne sais comment à partir de cette somme trouver l'expression de Un ?
merci pour votre réponse

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suites n°3 19-04-18 à 15:35

on te demande juste de l'écrire avec un symbole Sigma.
tu as déjà rencontré ce symbole ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suites n°3 19-04-18 à 15:37

Citation :
1) somme = [(1/1+n) (+1/n+n)] /2 * ((1/1+n) -(1/n+n) +1)
2) je dois utiliser la formule suivante : Un= U0+N*R


1) on ne voit vraiment pas comment tu peux écrire ça ??
2) tu crois vraiment que cette suite est arithmétique ??

Posté par
julerkgm
re : Suites n°3 19-04-18 à 15:41

1) je suivi la formule suivante : Somme = (Um+Un)/2  * (m-n+1)
2) non , c'est une suite récurrente mais pour calculer U1 , je dois trouver Un mais je ne sais pas par ou commencer

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suites n°3 19-04-18 à 15:45

1) non cette formule n'est valable que pour les suites arithmétiques et ici elle ne l'est pas.
2) non c'est pas une suite récurrente, Un est directement défini en fonction de n.

Je répète, on ne te demande pas Un en fonction de n mais simplement de l'écrire avec un symbole somme.

simplement  U_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+n}

Posté par
julerkgm
re : Suites n°3 19-04-18 à 15:47

Que veut dire le K ?
je ne comprend pas , c'est la première fois que je vois cette formule

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suites n°3 19-04-18 à 15:58

Alors petit cours sur le symbole sigma :
ça veut juste dire qu'on prends l'expression qui est après et qu'on fait varier cette variable k de 1 à n en ajoutant les termes que ça donne à chaque fois.
donc 1/(n+k) pour k=1 donne 1/(n+1)
puis 1/(n+k) pour k=2 donne 1/(n+2)
et on les ajoute à chaque fois donc par exemple pour calculer U2
on ajoute les deux termes 1/(n+1) et 1/(n+2) et en plus on fait n=2
donc U2 = 1/(2+1)+1/(2+2)= ....

Autre exemple \sum_{k=1}^3 k^2 = 1^2 + 2^2+3^2

Posté par
julerkgm
re : Suites n°3 19-04-18 à 16:09

Merci Glapion

1)  U_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+n}
                1
2) U1= Σ     = 1/(k+1)  = 1/2
              k=1

              2
    U2=Σ = 1/(2+k) +1/(2+k) = 1/2 + 1/4 =3/4
           k=2

c'est bon ou pas ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suites n°3 19-04-18 à 16:11

U2, non
U2 = 1/3+1/4 quand on fait n=2, alors 1/(n+1) donne 1/3

Posté par
julerkgm
re : Suites n°3 19-04-18 à 16:14

désole , donc U2 = 7/12

U3 =1/(3+1) +1/(3+2) +1/(3+3) =1/4+ 1/5+ 1/6 = 37/60

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suites n°3 19-04-18 à 16:15

oui OK

Posté par
julerkgm
re : Suites n°3 19-04-18 à 16:16

Pour V1 , je fais U1 +1/2 ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suites n°3 19-04-18 à 16:17

oui

Posté par
julerkgm
re : Suites n°3 19-04-18 à 16:19

DONC V1 = 0.5 +0.5 =1

V2 = U2 +1/4 = 7/12 +1/4 =5/6
V3= U3+1/6= 37/60 + 1/6 =47/60

c'est bon ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suites n°3 19-04-18 à 16:21

oui

Posté par
julerkgm
re : Suites n°3 19-04-18 à 16:23

est- ce que vous pouvez m'aidez pour Un+1-Un  , comment à partir de Σ , je peux calculer la différence ?
merci

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suites n°3 19-04-18 à 16:26

pars de la forme développée.
Comment écris-tu Un+1 ?

Posté par
julerkgm
re : Suites n°3 19-04-18 à 16:29

Un+1= 1/(n+1+1)
Un+1=1/(n+2
c'est ça ou pas ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suites n°3 19-04-18 à 16:32

non, Un+1 s'obtient en changeant n par n+1 dans la définition de Un

Un+1 = 1/(1+n +1) +1/(2+n+1) + .....+1/(n+n +1) + 1/(n+1+n+1)

Posté par
julerkgm
re : Suites n°3 19-04-18 à 16:36

cela donne
Un+1= 1/(1+n +1) +1/(2+n+1) + .....+1/(n+n +1) + 1/(n+1+n+1)
            = 1/(2+n) +1/(3+n) +....... +1/(2n+1) +1/(2n+2)
ET ENSUITE , je prend le 1 er terme 1/(2+n) et le dernier 1/(2n+2) pour faire la différence entre 1/(n+1) et 1/(n+n)

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suites n°3 19-04-18 à 16:39

Ensuite tu repères les termes qui sont communs à Un+1 et Un et qui vont donc se simplifier quand on fait la différence.
Qu'est-ce qui reste ?

Posté par
julerkgm
re : Suites n°3 19-04-18 à 16:42

il reste 1/(n+1) ,  1(n+n), 1/(2n+1) et 1/(2n+2)

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suites n°3 19-04-18 à 16:47

oui attention aux signes et c'est une somme !
et puis 1/(n+n) est commun aux deux

Un+1-Un= 1/(2n+1)+1/(2n+2) -1/(n+1)

Et maintenant si tu mets cette expression au même dénominateur et que tu simplifies, tu dois tomber sur l'expression que te propose l'énoncé.

Posté par
julerkgm
re : Suites n°3 19-04-18 à 16:57

je trouve :

1/(2n+1) + 1/(2n+2) -1/(n+1)

1/(2n+1) +1/(2n+2) -2/(2n+2)

1/(2n+1) -1(2n+2)

2n+2/(2n+1)(2n+2)  -2n-1 /(2n+1)(2n+2)

1/(2n+1)(2n+2)


question Un = 1/(n+1)  ?

Posté par
julerkgm
re : Suites n°3 19-04-18 à 17:09

Merci Glapion pour tout  

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suites n°3 19-04-18 à 17:19

Citation :
question Un = 1/(n+1) ?

pourquoi écris-tu cela ?

On a trouvé Un+1-Un >0 on en déduit que la suite est croissante.
De même on trouve que Vn est décroissante.

Les questions d'après s'il y en a seront sûrement :
la suite Un croissante et majorée (à démontrer) est donc convergente
la suite Vn décroissante et minorée (par 0 par exemple) est convergente aussi.
Vn-Un = 1/(2n) qui tend vers 0 montre que les deux suites sont adjacentes et ont même limite.

Posté par
julerkgm
re : Suites n°3 19-04-18 à 17:59

d'accord
merci



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