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suites numérique

Posté par
ZZZZOOUUU3
27-10-21 à 11:08

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un exercice qui est celui-ci:

Une entreprise spécialisée dans la diffusion de films et de séries a constaté qu'elle perdait tous les ans 20% de sa clientèle mais attirait dans le même temps 100 000 nouveaux clients. On estime qu'il y avait 200 000 clients en 2020 et on note Un le nombre de clients, en centaines de milliers l'année 2020+n, pour tout n appartient N. On a donc U0= 2

1) Calculer le nombre de client en 2021 puis en 2022

2) Justifier que pour tout n appartient à N, Un+1=0,8 Un+1

3)a. Déterminer une suite constante k vérifiant la même relation de récurrence que (Un).
b. Montrer que la suite (Un - k) définie sur N est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme .
c. En déduire que e terme général  Un est Un= -3x0,8exposant n+5

4) Justifier que la suite (Un) est croissante et déterminer sa limite.

5) En supposant que l'évolution reste la même, déterminer, à l'aide de la calculatrice, en quelle année l'entreprise dépassera les 450 000 clients .

Merci de votre aide!

Posté par
hekla
re : suites numérique 27-10-21 à 12:38

Bonjour

Que proposez-vous ?

Posté par
Kakuzo
re : suites numérique 27-10-21 à 12:56

Salut, c'est une rédaction assez classique qu'on te demande.

Pour la première question :
U_1=U_0 - 0,2U_0 +1=0,8U_0+1=0,8\times 2+1=2,6
U_2=U_1 - 0,1U_1 +1=0,8U_1+1=0,8\times 2,6+1=3,08

Une fois que tu as trouvé comment procéder pour la première question, la deuxième question est évidente.

Perdre 20% de 100 c'est obtenir seulement 80% de 100 par exemple et donc tu obtiens :
U_{n+1}=U_n- 0,2U_n +1=0,8U_n +1

On pose une suite auxiliaire pour la question 3.
V_n=U_n-5
V_{n+1}=U_{n+1}-5
V_{n+1}=0,8U_n+1-5
V_{n+1}=0,8U_n+1-5
V_{n+1}=0,8(U_n-5)
V_{n+1}=0,8V_n

Donc la suite auxiliaire est géométrique de raison 0,8.
Son premier terme est :
V_0=U_0-5=-3
V_n=V_0\times(0,8)^n=-3\times (0,8)^n

Une fois que tu connais Vn tu trouves facilement Un.
U_n - 5 =V_n \Leftrightarrow U_n=V_n+5\Leftrightarrow U_n =-3\times 0,8^n+5

U_{n+1}-U_n=-3\times 0,8^{n+1}+3\times0,8^n=3\times0,8^n\times (-0,8+1)=3\times0,8^n\times0,2>0

Donc la suite est croissante.

0,8 \in \left[0,1 \right], donc \lim_{n\rightarrow +\infty}-3\times0,8^n=0
D'où finalement :
\lim_{n\rightarrow +\infty}-3\times0,8^n+5=0+5=5

La suite tend vers 5.

Enfin pour U_9 tu dépasses 4,5.
Je te laisse conclure.

Kakuzo

Posté par
ZZZZOOUUU3
re : suites numérique 27-10-21 à 17:30

Merci beaucoup de votre aide, ca ma beaucoup aidé!



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