bon jour
pour qui conserne la bien definiton de la suite il te suffit de dire comme pour tout n Un!=2 alore on peut défine le terme suivant de la suite a savoir U(n+1)

et pour le reste il faut demontré par réccurence que Un < 1
on faite on a U0<1 donc il suffit de montrer que si Un<1 alors U(n+1)<1

Merci mais :

"il suffit de montrer que si Un<1 alors U(n+1)<1"

Mais je dois d'abord montrer que u(n)<1 !On doit utiliser la reccurence pour cette question sachant que la question suivante c'est déterminer le sens de vatiation de la suite ?

salut
str33 te propose un raisonnement par recurrence pour repondre a cette question.
kesako ?
on regarde ce que l'on veut demontrer.
on veut demontrer que pour tout n, u(n)<1.

on regarde pour n=0. u(0)=-1<1.
donc pour n=0.ok.

on peut le voir aussi pour n=1 si tu veux.

PUIS on SUPPOSE que c'est vrai pour un n quelconque.
on peut le faire car il existe au moins une valeur de n pour laquelle ce soit vrai (n=0, on l'a vu plus haut).
en ayant suppose cela, il faut montrer que c'est vrai au rang n+1.ce qui montrera l'HEREDITE de la propriete.

u(n+1)=1/(2-u(n))

or u(n)<1
donc -u(n)>-1
donc 2-u(n)>1
or la fonction x->1/x est decroissante sur ]0,+oo[
donc 1/(2-u(n))<1
donc u(n+1)<1
donc en ayant suppose que c'est vrai au rang n on a montre que c'etait vrai au rang n+1.

recapitulatif (a ne pas marquer sur ta copie c'est juste pour comprendre)
vrai pour n=0
or si c'est vrai pour n alors ca l'est aussi pour n+1.
donc n=1 ok.
n=1 vrai or si c'est vrai pour n alors ca l'est aussi pour n+1.
donc n=2 ok.
on continue n=3,4...+oo
donc ceci est vrai pour tout n.

quant on fait que la suite est bien definie :
tu as montre dans la question que 2-u(n) different de 0 pour tout n.
donc on peut ecrire  1/(2-u(n)) en toute securite donc la suite est bien definie.

a+

Je te remercie beaucoup. Grâce à toi j'ai enfin compris