Bonjour,notre prof de maths nous a donné un exo super dur et je n'arrive pas à le résoudre.Vous pouvez m'aider svp
Voici l'énoncé
Trois nombres sont en progression géométrique.Si on augmente le second de 8,la progression devient arithmétique
Mais si on augmente alors le troisième de 64,elle redevient géométrique
Combien vaut le premier nombre?
Bon moi ce que j'ai fait:
-Suite arithmétique:
Soit a,b et c trois nombres en progression géométrique dans cet ordre
Soit b' la nouvelle valeur de b obtenue après avoir ajouter au b initial la valeur 8
donc on a
b'=ar+8(r:la raison)
r=(b'-8)/(a)
-Suite géométrique:
Soit c' " " " " c " " " " " c " " " 64
donc on a
c'=a+2r+64
r=(c-a-64)/2
r=r donc ((b-8)/64))=((c-a-64)/2))
Par identification a=2
Esce juste car ça me semble un peu bizarre et trop facile
Bonjour,
Pour savoir si c'est juste, remplace a , b et c par ce que tu as trouvé et vérifie que ça marche.
bonjour
j'ignore si c'est la méthode la plus simple, mais je suis passée par les sommes des 3 séries.
inconnues a et q (q, raison géométrique de la 1ère série), 2 équations.
d'où a = 16/(q-1)²
... calculs un peu lourds (merci géogébra!), donc pas certaine que ce soit la meilleure façon.
a = 16/(q-1)² n'est pas équivalent à (q-1)^2=16/2 !
cette relation entre a et q est obtenue avec l'égalité (première équation) :
somme des termes de la 1ère série = somme des termes de la 2ème série - 8
on arrive à a = 16/(q-1)² assez facilement.
reste à établir une seconde équation, d'inconnues a et q, qui met en relation les sommes des 2ème et 3ème séries.
on injecte, et on trouve q, puis a.
je continue à réfléchir s'il n'y a pas plus simple comme seconde équation.
mais sinon, ça marche.
salut
trouvé plus simple pour la seconde équation :
exprimer la raison q ' comme rapport de 2 termes dans la 3ème série.
Désolé d'avoir pris autant de temps à répondre j'essayais dez le faire mais non j'y arrive pas
et puis que voulait vous dire par 1ere série 2eme serie
moi ce que je sais c'est que une progression géométrique on a b^2=ac et " " " arithmétique a+c=2b
Bonjour,
le mot série est utilisé à la place de progression. Je vais utiliser le mot suite.
1ère suite : a aq aq2
2nde suite : a aq+8 aq2
Cette seconde suite est arithmétique ; donc aq2 - (aq+8) = aq+8 - a .
Ce qui donne a (q-1)2 = 16 .
D'où q 1 et a = 16/(q-1)2 .
Après, il faut utiliser la 3ème suite qui est géométrique : a aq+8 aq2+64 .
C'est là que ça se complique.
En notant u = a v = aq+8 et w = aq2+64 , on a v2 = uw car la suite est géométrique.
a
(a=b2/c)
a=a
Par identification (aq+8)2=16
aq+8=4 OU aq+8=-4
aq=-4 ou aq=-12
Je trouve deux valeurs comment savoir quel est la bonne?
Oh je suis désolé j'ai tout essayé. J'ai passé des heures là dessus mais rien. Ma tête va exploser, je n'y comprend plus rien et pourtant je n'est jamais eu de problèmes sur les suites
Ce n'est pas un problème de suites mais d'équation.
C'est vrai que les calculs sont pénibles.
Commence par remplacer a par 16/(q-1)2 dans u , v et w .
u = 16/(q-1)2 v = ... = 8(2q+(q-1)2)/(q-1)2 w = ... = 16(q2+4(q-1)2)/(q-1)2 .
uw = .... et v2 = ....
Puis simplifie l'égalité uw = v2 . Tu va finir par obtenir une équation d'inconnue q et de degré 2 qui a 2 solutions.
Tu as raison de laisser reposer. Mais pas trop tard dans la nuit, sinon tu risques de mal dormir
Il y a peut-être une astuce qui permet d'éviter les calculs, mais je ne l'ai pas trouvée.
bonsoir à tous
sauf erreur,
en exprimant la raison q ' comme rapport de 2 termes consécutifs dans la 3ème suite :
a aq+8 aq²+64
---- seconde équation à réduire
Bonjour,je devais le faire hier nuit mais je me suis endormi malgré.Heureusement,aujourd'hui je me suis très tôt levé et je l'ai fait
Et ensuite (256 q2)/((q-1))4 s'élémine et il restera
=262144 et =512
q1=-5 et q2=3
et a=
Esce bon car ce que j'ai trouvé c'est un peu bizarre
A la fin, avant de calculer , on peut simplifier par 64.
Pour voir si c'est bon, essaye !
1) q=3 et a=4 : 4 12 36 puis 4 12+8 36 qui est bien arithmétique, puis 4 20 36 +64 qui est bien géométrique.
2) Idem avec -5 et 4/9 .
C'est toujours agréable de constater que l'objectif est atteint quand on y a passé du temps et de l'énergie
Et puis voilà que je trouve une résolution un peu plus simple :
On garde a =16/(q-1)2 obtenue avec a aq+8 aq2 arithmétique.
On traduit a aq+8 aq2+64 géométrique par
(aq+8)2 = a(aq2+64) qui donne a(4-q) = 4 .
D'où q 4 et a = 4/(4-q) .
16/(q-1)2 = 4/(4-q) est moins pénible que
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