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Suites numériques

Posté par
princesyb
17-03-19 à 10:10

Bonjour,notre prof de maths nous a donné un exo super dur et je n'arrive pas à le résoudre.Vous pouvez m'aider svp

Voici l'énoncé

Trois nombres sont en progression géométrique.Si on augmente le second de 8,la progression devient arithmétique
Mais si on augmente alors le troisième de 64,elle redevient géométrique
Combien vaut le premier nombre?


Bon moi ce que j'ai fait:
-Suite arithmétique:

Soit a,b et c trois nombres en progression géométrique dans cet ordre

Soit b' la nouvelle valeur de b obtenue après avoir ajouter au b initial la valeur 8
donc on a
b'=ar+8(r:la raison)
r=(b'-8)/(a)

-Suite géométrique:

Soit c' "           "                  "        "  c       "                  "            "            "      " c            "         "      "        64
donc on a
c'=a+2r+64

r=(c-a-64)/2



r=r donc ((b-8)/64))=((c-a-64)/2))

Par identification a=2

Esce juste car ça me semble un peu bizarre et trop facile

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites numériques 17-03-19 à 10:45

Bonjour,
Pour savoir si c'est juste, remplace a , b et c par ce que tu as trouvé et vérifie que ça marche.

Posté par
princesyb
re : Suites numériques 17-03-19 à 11:02

Le problème c'zst que j'arrive pas à calculer b et c
Je sais pas comment

Posté par
carita
re : Suites numériques 17-03-19 à 11:20

bonjour

j'ignore si c'est la méthode la plus simple, mais je suis passée par les sommes des 3 séries.

inconnues a et q  (q, raison géométrique de la 1ère série), 2 équations.
d'où  a = 16/(q-1)²

... calculs un peu lourds (merci géogébra!), donc pas certaine que ce soit la meilleure façon.

Posté par
princesyb
re : Suites numériques 17-03-19 à 11:39

Merci mais q je trouve deux valeurs que faire?
(q-1)^2=16/2=8

q=9 où q=-7

Posté par
carita
re : Suites numériques 17-03-19 à 11:48

a = 16/(q-1)²    n'est pas équivalent à (q-1)^2=16/2 !

cette relation entre a et q est obtenue avec l'égalité (première équation) :
somme des termes de la 1ère série = somme des termes de la 2ème série - 8

on  arrive à a = 16/(q-1)²   assez facilement.

reste à établir une seconde équation, d'inconnues a et q, qui met en relation les sommes des 2ème et 3ème séries.
on injecte, et on trouve q, puis a.

je continue à réfléchir s'il n'y a pas plus simple comme seconde équation.

mais sinon, ça marche.

Posté par
carita
re : Suites numériques 17-03-19 à 11:50

carita @ 17-03-2019 à 11:48


reste à établir une seconde équation, d'inconnues a et q, qui met en relation les sommes des 2ème (ou 1ère) et 3ème séries....

Posté par
princesyb
re : Suites numériques 17-03-19 à 12:17

Merci beaucoup dans la journée j'essseyais de le faire

Posté par
carpediem
re : Suites numériques 17-03-19 à 12:46

salut

Citation :
Soit a,b et c trois nombres en progression géométrique dans cet ordre
peut-être faut-il traduire en mathématique ce que cela veut dire ....

Posté par
carita
re : Suites numériques 17-03-19 à 12:53

trouvé plus simple pour la seconde équation :
exprimer la raison q ' comme rapport de 2 termes dans la 3ème série.

Posté par
carita
re : Suites numériques 17-03-19 à 12:53

bonjour carpediem

Posté par
carpediem
re : Suites numériques 17-03-19 à 12:54

salut carita

Posté par
princesyb
re : Suites numériques 19-03-19 à 23:05

Désolé d'avoir pris autant de temps à répondre j'essayais dez le faire mais non j'y arrive pas
et puis que voulait vous dire par 1ere série 2eme serie


moi ce que je sais c'est que une progression géométrique on a b^2=ac et " " " arithmétique a+c=2b

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites numériques 20-03-19 à 08:03

Bonjour,
le mot série est utilisé à la place de progression. Je vais utiliser le mot suite.
1ère suite : a aq aq2
2nde suite : a aq+8 aq2
Cette seconde suite est arithmétique ; donc aq2 - (aq+8) = aq+8 - a .
Ce qui donne a (q-1)2 = 16 .
D'où q 1 et a = 16/(q-1)2 .

Après, il faut utiliser la 3ème suite qui est géométrique : a aq+8 aq2+64 .
C'est là que ça se complique.
En notant u = a v = aq+8 et w = aq2+64 , on a v2 = uw car la suite est géométrique.

Posté par
princesyb
re : Suites numériques 20-03-19 à 13:30

aa=\frac{16}{(q-1)^{2}}

a=\frac{(aq+8)^{2}}{aq^{2}+64}} (a=b2/c)

a=a
Par identification (aq+8)2=16
aq+8=4  OU  aq+8=-4

aq=-4 ou aq=-12

Je trouve deux valeurs comment savoir quel est la bonne?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites numériques 20-03-19 à 13:55

"Par identification"
Pas d'identification, mais un travail soigneux à faire.
Il y a 2 solutions.

Posté par
princesyb
re : Suites numériques 20-03-19 à 16:20

Oh je suis désolé j'ai tout essayé. J'ai passé des heures là dessus mais rien. Ma tête va exploser, je n'y comprend plus rien et pourtant je n'est jamais eu de problèmes sur les suites

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites numériques 20-03-19 à 16:44

Ce n'est pas un problème de suites mais d'équation.
C'est vrai que les calculs sont pénibles.
Commence par remplacer a par 16/(q-1)2 dans u , v et w .
u = 16/(q-1)2 v = ... = 8(2q+(q-1)2)/(q-1)2 w = ... = 16(q2+4(q-1)2)/(q-1)2 .

uw = .... et v2 = ....
Puis simplifie l'égalité uw = v2 . Tu va finir par obtenir une équation d'inconnue q et de degré 2 qui a 2 solutions.

Posté par
princesyb
re : Suites numériques 20-03-19 à 17:02

OK merci je le ferais plus tard dans la nuit je pense

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites numériques 20-03-19 à 17:09

Tu as raison de laisser reposer. Mais pas trop tard dans la nuit, sinon tu risques de mal dormir

Il y a peut-être une astuce qui permet d'éviter les calculs, mais je ne l'ai pas trouvée.

Posté par
carita
re : Suites numériques 20-03-19 à 20:04

bonsoir à tous

sauf erreur,
en exprimant la raison q ' comme rapport de 2 termes consécutifs dans la 3ème suite :  
                                                                    a          aq+8        aq²+64  

q ' = \dfrac{aq+8}{a} = \dfrac{aq^2+64}{aq+8}

(aq+8)^2 = a(aq^2+64)  ----  seconde équation à réduire

Posté par
princesyb
re : Suites numériques 21-03-19 à 08:03

Bonjour,je devais le faire hier nuit mais je me suis endormi malgré.Heureusement,aujourd'hui je me suis très tôt levé et je l'ai fait

\left[\frac{16}{(q-1)^2} +8\right]^2=\left[\frac{16}{(q-1)^2}q^2 \right]+64a

\frac{256 }{(q-1)^4} q^2+\frac{256 }{(q-1)^2}q+64\ =\frac{256}{(q-1)^4}q^2+\frac{1024}{(q-1)^2}

Et ensuite (256 q2)/((q-1))4 s'élémine et il restera

\frac{256 }{(q-1)^2}q+64\ =+\frac{1024}{(q-1)^2}

\frac{256 }{(q-1)^2}q+64(q-1)^2\ =\frac{1024}{(q-1)^2}

\frac{256 q+64(q^2-2q+1) }{(q-1)^2} =\frac{1024}{(q-1)^2}

\frac{256 q+64q^2-128q+64 }{(q-1)^2} =\frac{1024}{(q-1)^2}

256 q+64q^2-128q+64= 1024

64q^2+128q-960= 0

=262144           et   =512


q1=-5   et  q2=3


et a=\frac{16}{(-5-1)^2}=\frac{4}{9}

\frac{16}{(3-1)^2}=4

Esce bon car ce que j'ai trouvé c'est un peu bizarre

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites numériques 21-03-19 à 08:25



A la fin, avant de calculer , on peut simplifier par 64.

Pour voir si c'est bon, essaye !
1) q=3 et a=4 : 4 12 36 puis 4 12+8 36 qui est bien arithmétique, puis 4 20 36 +64 qui est bien géométrique.
2) Idem avec -5 et 4/9 .

C'est toujours agréable de constater que l'objectif est atteint quand on y a passé du temps et de l'énergie

Posté par
princesyb
re : Suites numériques 21-03-19 à 08:32

Merci énormément ça fait du bien de trouver

Merci à vous tous de votre aide😊😊😘

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites numériques 21-03-19 à 08:44

Et puis voilà que je trouve une résolution un peu plus simple :
On garde a =16/(q-1)2 obtenue avec a aq+8 aq2 arithmétique.
On traduit a aq+8 aq2+64 géométrique par
(aq+8)2 = a(aq2+64) qui donne a(4-q) = 4 .
D'où q 4 et a = 4/(4-q) .

16/(q-1)2 = 4/(4-q) est moins pénible que

\frac{256 }{(q-1)^4} q^2+\frac{256 }{(q-1)^2}q+64\ =\frac{256}{(q-1)^4}q^2+\frac{1024}{(q-1)^2}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites numériques 21-03-19 à 08:47

Je m'aperçois que c'est ce que proposait carita hier à 20h04

Posté par
princesyb
re : Suites numériques 21-03-19 à 09:06

Et comment avez vous trouvez a(4-q)=4

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites numériques 21-03-19 à 09:12

a2q2+16aq+64 = a2q2+64a

Posté par
princesyb
re : Suites numériques 21-03-19 à 09:18

Ah ok je vois vraiment encore une fois



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