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Suites numériques

Posté par
stouvalie
13-10-19 à 19:18

Bonjour,

Voilà j 'ai l'exercice suivant à faire:

Soit (Un) la suite définie par U0=3 et Un+1=(5Un+1)/(Un+5) pour n>=0

1) Etudier les variations de la fonction f définie sur [0;+infini[ par f(x)=(5x+1)/(x+5)

2) a. Démontrer par récurrence, que pour tout n de N, 0<=Un+1<=Un<3

    b. Que peut on conjecturer quant à la convergence de la suite (Un)?

3) Soit (Vn) la suite définie par Vn= (Un-1)/(Un+1) pour n>=0
    a. Montrer que (Vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

    b.Pour tout n<=0, Exprimer Un en fonction de Vn

   c. Déterminer la limite de la suite (Vn) puis conclure quant à la limite de (Un)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Où en suis-je:

J'ai réussi à faire la 1 et la 3)a mais j' ai du mal avec les autres questions,

Ce que j'ai essayé de faire:

pour la 2.a

U0=3
U1=2
U2= 11/7

Initialisation: U0=3 d'où U0>=0 donc la proposition est vraie au rang 0
Hérédité: Supposons que la propostion Un>=0 soit vraie, montrons que Un+1>=0
Un>=0
5Un+1>=1
(5Un+1)/(Un5)>=1/(Un+5)
(5Un+1)/(Un+5)-1/(Un+5)>=0
Un+1-1/(Un+5)>=0...
Je ne vois pas comment poursuivre...

Pour la 3b:
Vn= (1/2)*(2/3)^n=Un-1/Un+1
Un= [(2/3)^n+1]/[(2/3)^n-1]... Je ne suis pas sûre que ce soit juste

3.c:
Lorsque n->+infini, alors lim(2/3)^n=0 et lim 1/1=1 d'où LimUn= 1

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
carita
re : Suites numériques 13-10-19 à 21:15

bonsoir

3) pars de Vn+1 et essaie d'arriver à une forme q * Vn

Posté par
carita
re : Suites numériques 13-10-19 à 21:20

pour la démo par récurrence,

pose clairement :
soit P(n)  la proposition  n      0 Un+1 Un 3

hérédité
hypothèse de récurrence :  on suppose....?. rédige
à démontrer : ..?.. rédige précisément ce que tu dois trouver

Posté par
carita
re : Suites numériques 13-10-19 à 21:42

ensuite,

tu peux partir de l'encadrement de l'hypothèse, et par équivalence d'encadrements successifs,
tu montres que  0un+2un+13

ce lien peut t'intéresser

Posté par
carita
re : Suites numériques 13-10-19 à 21:55

je viens de voir que tu avais réussi la 3a )

3b) on exprime Un en fonction de Vn

V_n = \dfrac{U_n - 1}{U_n + 1} \\\\ V_n (U_n + 1) = U_n - 1
etc.

puis on remplace les Vn par (1/2).(2/3)n
on peut simplifier un peu ensuite.

ce n'est pas tout à fait ce que tu as trouvé.

Posté par
carita
re : Suites numériques 13-10-19 à 21:57

3c) les limites de Vn et Un sont justes.

Posté par
stouvalie
re : Suites numériques 14-10-19 à 13:26

Bonjour,
Merci beaucoup pour vos réponses:

Pour la 2a j'ai:

Soit (Pn) la proposition  ∀ n ∈N   0≤Un+1≤Un≤3

U0=3
U1= 2

Initialisation: 0≤2≤3≤3 soit 0≤Un+1≤Un≤3, donc la proposition vraie au rang 0.

Hérédité: On suppose que la proposition (Pn) 0≤Un+1≤Un≤3 soit vraie, démontrons que 0≤Un+2≤Un+1≤3

0≤Un+1≤Un≤3
1≤Un+1*5+1≤5*Un+1≤16
1/(Un+5)≤(Un+1*5+1)/(Un+5)≤(Un+1)/(Un+5)≤3/(Un+5)
1/(Un+5)≤(Un+1*5+1)/(Un+5)≤Un+1≤3/(Un+5)

De ce que je comprends c'est qu'il faut partir de la proposition 0≤Un+1≤Un≤3 en ensuite ajouter à Un les termes de Un+1 mais je ne vois pas comment arriver à 0≤Un+2≤Un+1≤3

Pour la 3b.

Vn (Un+1)=(Un-1)
Vn*Un+Vn=Un-1
1/2*(2/3)n*Un+1/2*(2/3)^n=Un-1
1/3nUn+1/3n-1=Un
1/3nUn-2/3n=Un

Posté par
stouvalie
re : Suites numériques 14-10-19 à 13:29

faute de frappe excusez moi:

1/(Un+5)≤(Un+1*5+1)/(Un+5)≤(Un+1)/(Un+5)≤316/(Un+5)

1/(Un+5)≤(Un+1*5+1)/(Un+5)≤Un+1≤316/(Un+5)

Posté par
malou Webmaster
re : Suites numériques 14-10-19 à 16:11

bonjour
holla...et si tu te servais de la question 1) ? demande toi pourquoi on te l'a posée ....

hypothèse de recurrence
on applique f à tous les termes de l'inégalité
fini, à mon avis...

edit > écris le résultat de la question 1 s'il te plaît ....

Posté par
carita
re : Suites numériques 14-10-19 à 16:47

bonjour malou
merci pour ton intervention, j'ai entrainé stouvalie sur une piste bien plus compliquée :/

stouvalie
Pour la 3b.
Vn (Un+1)=(Un-1)
Vn*Un+Vn=Un-1
Un(.....) = ....
continue à travailler sur cette égalité : factorise Un pour l'exprimer en fonction de Vn

et ensuite seulement, remplace Vn par le terme général.
ainsi tu obtiendras Un directement  en fonction de n.

j'attire ton attention sur une erreur dans ta rédaction  :  \dfrac{1}{2}(\dfrac{2}{3})^n   n'est PAS égal  à (\dfrac{1}{3})^n
en effet  (\dfrac{2}{3})^n = \dfrac{2^n}{3^n}  

Posté par
carita
re : Suites numériques 14-10-19 à 16:52

2a)  
l'initialisation est ok

Hérédité: On suppose que la proposition (Pn) 0≤Un+1≤Un≤3 soit vraie, démontrons que 0≤Un+2≤Un+1≤3

0≤Un+1≤Un≤3
.... reprends à partir d'ici, en suivant le conseil de Malou

Posté par
stouvalie
re : Suites numériques 16-10-19 à 11:10

Bonjour,
Désolée de répondre si tard:

pour la question 1 j'ai:

    1) On sait que la fonction f est définie sur [0;+∞[ par f(x)=(5x+1)/(x+5)
Calcul de la dérivée de f(x)
f(x) est de forme u/v d'où (u'v-uv')/v²

f^' (x)=(5(x+5)-(5x+1)1)/((x+5)²)=(5x+25-5x)/((x+5)²)=25/((x+5)²)>0

(x+5)² etant toujours positif sur [0;+∞[ donc f est croissante sur [0;+∞[

Pour la 3b:

Vn=(Un-1)/(Un+1)
Vn(Un+1)=(Un-1)
Vn*Un+Vn-Un=-1
Un(Vn-1)+Vn=-1
Un(Vn-1)=-Vn-1
Un=(-Vn-1)/(Vn-1)
Un=(-[(1/2)*(2/3)n]-1)/(1/2*(2/3)n-1)

Je suis en train de travailler sur la question de récurrence,

Posté par
carita
re : Suites numériques 16-10-19 à 12:07

bonjour stouvalie

pour la dérivée, petite erreur de calcul : le numérateur est 24, et non pas 25;
mais ça ne change rien pour la suite : f est croissante sur R+.

3b) oui
tu peux simplifier un peu cette expression:
- simplifier les signes
- éventuellement factoriser 1/2 au numérateur et dénominateur

3a) cherche pas très loin  : en utilisant le fait que f est croissante, ça se termine en 2 lignes...

Posté par
stouvalie
re : Suites numériques 16-10-19 à 12:09


Pour la récurrence de la question 2a:

Si j'utilise la dérivée trouvée dans la question 1: f'(x)=25/(x+5)²

0≤Un+1≤Un≤3
f(0)≤f(Un+1)≤f(Un)≤f(3)
25/(0+5)²≤25/(x+1+5)²≤25/(x+5)²≤25/(3+5)²
25/25≤25/(x+6)²≤25/(x+5)²≤25/64
1≤25/(x+6)²≤25/(x+5)²≤25/(39+25)
1≤25/(x+6)²≤25/(x+5)²≤39
1≤Un+2≤Un+1≤39


Si j'utilise la formule de départ:

0≤Un+1≤Un≤3
f(0)≤f(Un+1)≤f(Un)≤f(3)
(5*0+1)/(0+5)≤(5x+1+1)/(x+1+5)≤(5x+1)/(x+5)≤(5*3+1)/(3+5)
1/5≤(5x+2)/(x+6)≤(5x+1)/(x+5)≤16/8
1/5≤(5x+2)/(x+6)≤(5x+1)/(x+5)≤2
1/5≤Un+2≤Un+1≤2

Posté par
carita
re : Suites numériques 16-10-19 à 12:15

2a)

Si j'utilise la dérivée variation de f trouvée dans la question 1



0≤Un+1≤Un≤3    --- hypothèse de récurrence
f(0) f(Un+1)≤f(Un)≤f(3)   ---- oui, parce que... justifie

or
f(0)=1/5
f(Un+1) = ..?
f(Un) = ..?
f(3)=2

donc

Posté par
stouvalie
re : Suites numériques 16-10-19 à 12:36


f(0)≤f(Un+1)≤f(Un)≤f(3)

On sait que si une fonction f et I, un intervalle donné dans son ensemble de définition, la fonction f est strictement croissante si et seulement si x1≤x2

Si Un+1≤Un

Et que la fonction f est croissante sur  [0;+infini[, alors

f(0)≤f(Un+1)≤f(Un)≤f(3)

or
(0)=1/5
f(Un+1) = 24/(x+6)²=Un+2
f(Un) = 24/(x+5)²=Un+1
f(3)=2

La proposition étant héréditaire et vérifiée, on a donc ∀ n ∈N   0≤Un+1≤Un≤3

Posté par
carita
re : Suites numériques 16-10-19 à 12:50

stouvalie @ 16-10-2019 à 12:36


H.R. : f(0)≤f(Un+1)≤f(Un)≤f(3)

On sait que si une fonction f et I, un intervalle donné dans son ensemble de définition, la fonction f est strictement croissante si et seulement si x1≤x2--- non revois la définition d'une fonction croissante.

-----

Si Un+1≤Un Et que la fonction f est croissante sur  [0;+infini[, alors f(0)≤f(Un+1)≤f(Un)≤f(3)  
----- non plus, il n'y pas implication logique si tu écris ainsi

or
(0)=1/5
f(Un+1) = 24/(x+6)²=Un+2
f(Un) = 24/(x+5)²=Un+1
f(3)=2
ce qui en rouge est inutile et faux.
Un+1=f(Un) par définitions de la suite U et de la fonction f.
sur l'expression de f(x), remplace x par Un, puis compare avec la définition de la suite...
idem pour f(Un+1)



relis mon message de 12h15

Posté par
stouvalie
re : Suites numériques 16-10-19 à 12:51

pour la 3b j'ai essayé de simplifier:
Un=(-[(1/2)*(2/3)n]-1)/(1/2*(2/3)n-1)
Un=1/2[(-1(2/3)n)/(1(2/3)n)]-1
soit Un= 1/2[-(2/3)n/(2/3)n]-1

Posté par
carita
re : Suites numériques 16-10-19 à 12:58

la simplification est fausse.
il me semble (?) que tu as allègrement bafoué  les règles de calcul...

ab+c = a(b + c/a)    ---- si a non nul bien sur.
reprends.

et tu pouvais d'ores et déjà simplifier les signes ici :  Un=(-Vn-1)/(Vn-1)
de façon à avoir un numérateur positif, et ce, avant d'injecter la formule explicite de Vn.

Posté par
carita
re : Suites numériques 16-10-19 à 12:58

je reviens te lire un peu plus tard.

Posté par
stouvalie
re : Suites numériques 16-10-19 à 13:57

3b
Un=(-Vn-1)/Vn-1
Un=(-1*Vn-1)/Vn-1
Un=Vn-1/Vn
Un=[(1/2)(2/3)n-1]/(1/2)(2/3)n
Un=[(1/2)[(2/3)n-(1/(1/2))]]/(1/2)(2/3)n
Un=[(2/3)n-2]/(1/2)(2/3)n

Posté par
carita
re : Suites numériques 16-10-19 à 14:04

hum... une (sérieuse) carence en calcul littéral ?
tu ne peux pas enlever le -1 comme ça au dénominateur.

U_n = \dfrac{- V_n - 1}{V_n - 1} = \dfrac{- (V_n + 1)}{-(1 - V_n)} = \dfrac{1 + V_n}{1 - V_n}

es-tu d'accord avec toutes les étapes ?

Posté par
stouvalie
re : Suites numériques 16-10-19 à 14:06

2a:

Hérédité: 0≤Un+1≤Un≤3

D'après l'énoncé: Un+1=f(Un) d'où, Un+2=f(Un+1)
ce qui nous donne:

f(0)≤f(Un+1)≤f(Un)≤f(3)
1/5≤Un+2≤Un+1≤2

La fonction f étant croissante sur l'intervalle [0;+infini[, l'hypothèse de récurrence est vérifiée pour tout n de N 0≤Un+1≤Un≤3

Posté par
stouvalie
re : Suites numériques 16-10-19 à 14:11

carita @ 16-10-2019 à 14:04

hum... une (sérieuse) carence en calcul littéral ?
tu ne peux pas enlever le -1 comme ça au dénominateur.

U_n = \dfrac{- V_n - 1}{V_n - 1} = \dfrac{- (V_n + 1)}{-(1 - V_n)} = \dfrac{1 + V_n}{1 - V_n}

es-tu d'accord avec toutes les étapes ?


ah bah oui effectivement avec une multiplication ca fonctionne mieux... je me sens un peu bête du coup

Posté par
carita
re : Suites numériques 16-10-19 à 14:16

stouvalie @ 16-10-2019 à 14:06

2a:Hérédité:
hypothèse de récurrence :  0≤Un+1≤Un≤3

D'après l'énoncé: Un+1=f(Un) d'où, Un+2=f(Un+1)

ce qui nous donne:non; tu ne peux écrire la suite que parce que f est croissante sur l'intervalle;
donc tu dois le dire ici : "or on sait que blablabla..."

f(0)≤f(Un+1)≤f(Un)≤f(3)
1/5≤Un+2≤Un+1≤2

La fonction f étant croissante sur l'intervalle [0;+infini[, ----- à mettre ci-dessus, donc, pour justifier

l'hypothèse de récurrence est vérifiée pour tout n de N 0≤Un+1≤Un≤3


si tu le souhaites, fais une dernière proposition  de rédaction. ...et nickel, ok ?
inspire-toi de  13-10-19 à 21:20
et de   16-10-19 à 12:15

Posté par
carita
re : Suites numériques 16-10-19 à 14:22

pour la simplification de Un :
à retenir pour l'essentiel : si tu changes le signe du numérateur d'une fraction,
tu dois changer aussi celui du dénominateur.
à utiliser sans modération pour éviter de trimbaler inutilement des signes "moins".

termine la simplification de U_n.
tu étais sur la bonne piste à 13h57...

Posté par
stouvalie
re : Suites numériques 16-10-19 à 14:30

2a.
Soit la proposition (Pn) ∀ n∈N* 0≤Un+1≤Un≤3

U0=3
U1= 2

Initialisation: 0≤2≤3≤3 soit 0≤Un+1≤Un≤3, donc la proposition vraie au rang 0.
Hérédité: On suppose que la proposition (Pn) 0≤Un+1≤Un≤3 soit vraie. Démontrons que 0≤Un+2≤Un+1≤3

D'après l'énoncé, on a Un+1=f(Un) d'où, Un+2=f(Un+1)
Or, la suite f étant croissante sur l'intervalle I [0;+infini[ on a donc:

0≤Un+1≤Un≤3
f(0)≤f(Un+1)≤f(Un)≤f(3)
1/5≤Un+2≤Un+1≤2

La proposition étant héréditaire on a donc pour tout n de N 0≤Un+1≤Un≤3

Posté par
carita
re : Suites numériques 16-10-19 à 14:39

hérédité
je rajouterais :
supposons la proposition P(n) vérifiée au rang n :  0≤Un+1≤Un≤3

vérifions si elle reste vraie au rang n+1, c'est-à-dire  si 0≤Un+2≤Un+1≤3

---

et à la fin

il te faut juste écrire l'encadrement que tu veux démontrer :
tu ne peux pas t'arrêter à 1/5≤Un+2≤Un+12
et laisser au lecteur le soin de conclure lui-même.

La proposition étant initialisée et héréditaire on a donc pour tout n de N 0≤Un+1≤Un≤3

Posté par
stouvalie
re : Suites numériques 16-10-19 à 14:46

3b.

Un=(-Vn-1)/(Vn-1)
Un=-(Vn+1)/-(1-Vn)
Un=Vn+1/1-Vn
Un=[(1/2)(2/3)n+1]/[1-(1/2)(2/3)n]
Un=[(1/2)[(2/3)n+(1/(1/2))]]/[(1/2)[(1/(1/2))-(2/3)n]]
Un=[(2/3)n+2]/[2-(2/3)n]

Posté par
carita
re : Suites numériques 16-10-19 à 14:47

exact

Posté par
stouvalie
re : Suites numériques 16-10-19 à 14:53

Je vous remercie énormément pour votre aide, votre patience et le temps que vous m'avez accordé

Posté par
carita
re : Suites numériques 16-10-19 à 14:54

avec plaisir
bonne continuation !



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