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suites numériques

Posté par LOL67 (invité) 25-02-04 à 13:01

je suis en 1ère S, j'ai un problème sur les suites numériques
que je trouve pas  

On veut calculer 1²+2²+...+n²

on connait l'égalité (Ei) : (i+1)^3-i^3 = 3i^3+3i+1

- Ecrire les n égalités Ei pour i variant de 1 à n.
- En déduire la relation
.......n(n+1)(2n+1
Sn= ------------ .
........6

Je comprends m^me pas la question !! sinon c le livre bordas jaune 1ère
S, ex 114 p. 151.

HELP !!

Posté par
watik
re : suites numériques 25-02-04 à 13:32

bonjour
permettez moi de vous répondre.

i=1 :    (1+1)^3-1^3=3(1)²+3(1)+1
i=2 :    (2+1)^3-2^3=3(2)²+3(2)+1
i=3 :    (3+1)^3-3^3=3(3)²+3(3)+1
.
.
.
i=p :    (p+1)^3-p^3=3(p)²+3(p)+1
i=p+1 :    (p+1+1)^3-(p+1)^3=3(p+1)²+3(p+1)+1
i=p+2 :    (p+2+1)^3-(p+2)^3=3(p+2)²+3(p+2)+1
.
.
.
i=n-2 :    (n-2+1)^3-(n-2)^3=3(n-2)²+3(n-2)+1
i=n-1 :    (n-1+1)^3-(n-1)^3=3(n-1)²+3(n-1)+1
i=n :    (n+1)^3-(n)^3=3(n)²+3(n)+1
------------------------------------------------------------------
en rajoutant membre à mebre.

(n+1)^3-1=3(1+2²+...+n²)+3(1+2+...+n)+(1+...+1)
                                                                
              nfois

en posant A=1+2²+...+n²  et B=1+2+...+n on a

(n+1)^3-1=3A+3B+n

car 1+...+1=n  

comme B=n(n+1)/2
et(n+1)^3-1=((n+1)²+(n+1)+1)((n+1)-1)
                      =((n+1)²+(n+1)+1)n

donc

((n+1)²+(n+1)+1)n=3A+3(n(n+1)/2)+n

donc
3A=((n+1)²+(n+1)+1)n-3(n(n+1)/2)-n
    = n(2((n+1)²+(n+1)+1)-3(n+1)-2)/2
    = n(2(n+1)²+2(n+1)+2-3(n+1)-2)/2
    =n(n+1)(2(n+1)+2-3)/2
    =n(n+1)(2n+2+2-3)/2
    =n(n+1)(2n+1)/2

donc 3A=n(n+1)(2n+1)/2


donc A=n(n+1)(2n+1)/6

donc

1+2²+...+n² =n(n+1)(2n+1)/6  qq soit n élément de N.

voila

bon courage




Posté par LOL67 (invité)re : suites numériques 25-02-04 à 19:59

un grand merci à toi



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