je suis en 1ère S, j'ai un problème sur les suites numériques
que je trouve pas
On veut calculer 1²+2²+...+n²
on connait l'égalité (Ei) : (i+1)^3-i^3 = 3i^3+3i+1
- Ecrire les n égalités Ei pour i variant de 1 à n.
- En déduire la relation
.......n(n+1)(2n+1
Sn= ------------ .
........6
Je comprends m^me pas la question !! sinon c le livre bordas jaune 1ère
S, ex 114 p. 151.
HELP !!
bonjour
permettez moi de vous répondre.
i=1 : (1+1)^3-1^3=3(1)²+3(1)+1
i=2 : (2+1)^3-2^3=3(2)²+3(2)+1
i=3 : (3+1)^3-3^3=3(3)²+3(3)+1
.
.
.
i=p : (p+1)^3-p^3=3(p)²+3(p)+1
i=p+1 : (p+1+1)^3-(p+1)^3=3(p+1)²+3(p+1)+1
i=p+2 : (p+2+1)^3-(p+2)^3=3(p+2)²+3(p+2)+1
.
.
.
i=n-2 : (n-2+1)^3-(n-2)^3=3(n-2)²+3(n-2)+1
i=n-1 : (n-1+1)^3-(n-1)^3=3(n-1)²+3(n-1)+1
i=n : (n+1)^3-(n)^3=3(n)²+3(n)+1
------------------------------------------------------------------
en rajoutant membre à mebre.
(n+1)^3-1=3(1+2²+...+n²)+3(1+2+...+n)+(1+...+1)
nfois
en posant A=1+2²+...+n² et B=1+2+...+n on a
(n+1)^3-1=3A+3B+n
car 1+...+1=n
comme B=n(n+1)/2
et(n+1)^3-1=((n+1)²+(n+1)+1)((n+1)-1)
=((n+1)²+(n+1)+1)n
donc
((n+1)²+(n+1)+1)n=3A+3(n(n+1)/2)+n
donc
3A=((n+1)²+(n+1)+1)n-3(n(n+1)/2)-n
= n(2((n+1)²+(n+1)+1)-3(n+1)-2)/2
= n(2(n+1)²+2(n+1)+2-3(n+1)-2)/2
=n(n+1)(2(n+1)+2-3)/2
=n(n+1)(2n+2+2-3)/2
=n(n+1)(2n+1)/2
donc 3A=n(n+1)(2n+1)/2
donc A=n(n+1)(2n+1)/6
donc
1+2²+...+n² =n(n+1)(2n+1)/6 qq soit n élément de N.
voila
bon courage
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