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Suites numériques

Posté par
polpol07
28-02-21 à 14:03

Bonjour,
Pourriez-vous m'aider à résoudre cet exercice :
Pour démontrer une conjecture : On considère la suite V définie par la formule explicite conjecturée. Pour montrer que les suites U et V sont égales, il suffit de prouver qu'elles ont le même terme initial, c'est -à-dire que U0=V0 et que la suite V vérifie la même relation de récurrence que U, à savoir que, pour tout entier nEN, on a : Vn+1=Vn+2n+1
Application immédiate :
Soit la suite U définie sur N par U0=1 et :
Un+1=Un/(1+Un(1+2n))
1. Calculer les premiers termes de la suite U ( on écrira ces termes sous forme de fractions irréductibles ). Conjecturer alors une expression explicite de Un.
2. Démontrer la conjecture émise en question 1.

J'ai trouvé les premiers termes, et que la conjecture était : Un = 1/(n^2+1)
mais je n'arrive pas à la démontrer comme dans l'exemple.
Je vous remercie pour votre aide.

Posté par
hekla
re : Suites numériques 28-02-21 à 14:16

Bonjour

En démontrant par récurrence ?

Posté par
polpol07
re : Suites numériques 28-02-21 à 14:24

La récurrence est au programme de terminale et c'est un exo de première. Il faut démontrer comme dans l'exemple en créant une suite V.

Posté par
alma78
re : Suites numériques 28-02-21 à 18:35

Bonjour,
Il est facile de démontrer que Un=1/Vn.
Ensuite il suffit de démontrer que Vn=n2+1.
D'où la conjecture est vérifiée.

Posté par
polpol07
re : Suites numériques 28-02-21 à 19:21

Je ne vois pas comment faire... Il faut s inspirer du 83 et dans le 83, ils disent de montrer que Un=Vn
Quelle est la démarche ?

Posté par
co11
re : Suites numériques 28-02-21 à 19:29

Bonsoir,
l'énoncé de départ est bien confus me semble-t-il ...

Citation :
On considère la suite V définie par la formule explicite conjecturée. Pour montrer que les suites U et V sont égales, il suffit de prouver qu'elles ont le même terme initial, c'est -à-dire que U0=V0 et que la suite V vérifie la même relation de récurrence que U

Là, d'accord .... sauf que V0 n'est pas donné, aïe!

Et puis les suites U et V que tu cites sont toutes deux définies par une relation de récurrence et non l'une par récurrence et l'autre par une formule explicite

Ensuite tu évoques la suite de terme général  1/(n² +1) .... nommée comment ?

Alors je vois bien ce que propose alma78,  Toi aussi ?
Mais tout de même, il serait préférable de proposer un énoncé plus précis ..... plus complet ?

Posté par
co11
re : Suites numériques 28-02-21 à 19:29

Le 83 ?????

Posté par
polpol07
re : Suites numériques 28-02-21 à 19:50

Il faut s inspirer du 83 pour la rédaction de l exercice 84.
Il faut prouver la conjecture que j ai trouvée, à savoir que Un= 1/(n2+1)
En créant une suite Vn égale à Un
Je pense qu il faut faire une récurrence, mais je ne vois pas comment.
Merci à vous.

Posté par
co11
re : Suites numériques 28-02-21 à 19:55

83, 84 ??????

Posté par
polpol07
re : Suites numériques 28-02-21 à 20:13

Désolée, je n ai pas marqué les numéros d exos.
Le début est l exo 83 et l application immédiate l exo 84 du livre de 1ere Hachette...

Posté par
co11
re : Suites numériques 28-02-21 à 20:23

Je n'ai pas ce livre .....

Posté par
polpol07
re : Suites numériques 28-02-21 à 20:36

Ma question est pour le 2 de l application immédiate.

Posté par
alma78
re : Suites numériques 01-03-21 à 11:53

Bonjour,

la démarche pour démontrer la conjecture que tu as faite, est de considérer la suite V définie par la formule explicite conjecturée, c'est à dire Vn= 1/(n2+1). Puis de montrer que les suites U et V sont égales.
Pour cela, il suffit de prouver qu'elles ont le même terme initial, c'est -à-dire que U0=V0 et que la suite V vérifie la même relation de récurrence que U, à savoir que, pour tout entier n, on a : Vn+1=Vn/(1+Vn*(1+2n)).
Il est facile de vérifier que V0=1. Il suffit de remplacer n par 0 dans la formule Vn= 1/(n2+1). Donc on a bien  U0=V0.
Il te reste à démontrer que Vn+1=Vn/(1+Vn*(1+2n)).
Pour cela, calcule Vn/(1+Vn*(1+2n)) en remplaçant Vn par la formule conjecturée et vérifie que tu retombes bien sur Vn+1.
A toi de jouer maintenant.

Posté par
polpol07
re : Suites numériques 01-03-21 à 12:25

Bonjour,
Je l ai fait, je retombe bien sur Vn+1. Merci beaucoup !
Comment j explique maintenant que Vn=Un ?

Posté par
polpol07
re : Suites numériques 01-03-21 à 12:26

C est à dire comment j explique que
Un= 1/(n^2+1)

Posté par
alma78
re : Suites numériques 01-03-21 à 13:34

1/(n2+1) est la formule conjecturée.
Le fait d'avoir démontrer que la suite V est égale à la suite U est suffisant pour dire que Un=1/(n2+1).

Posté par
polpol07
re : Suites numériques 01-03-21 à 13:53

Merci beaucoup !

Posté par
alma78
re : Suites numériques 01-03-21 à 15:33

Je t'en prie. À bientôt sur



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