Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Suites Numériques

Posté par
Tiantio 26-03-21 à 19:03

Bonjour à toutes et à tous !

Exo : Montrer en utilisant le critère de Cauchy que la suite (Un)n donnée par Un = 1+1/2+...+1/n est divergente.

Voici la manière dont j'ai raisonné : on cherche à montrer qu'il existe epsillon > 0, pour tout N, il existe p,q n>= N et |Up-Uq| > epsillon(la négation de la définition d'une suite de cauchy) .
J'ai posé epsillon = 1/3 et j'ai plus démontré que U2n - Un>=1/2>1/3.

Merci pour vos conseils

Posté par
lionel52re : Suites Numériques 26-03-21 à 19:11

Posté par
Tiantiore : Suites Numériques 26-03-21 à 19:18

Merci !

Posté par
carpediemre : Suites Numériques 26-03-21 à 19:24

salut

juste une remarque : pourquoi prendre 1/3 alors que tu nous ponds un 1/2 ?

Posté par
Tiantiore : Suites Numériques 26-03-21 à 19:33

Désolé

Posté par
carpediemre : Suites Numériques 26-03-21 à 20:07

il n'y a aucun mal ...

Posté par
Ulmierere : Suites Numériques 26-03-21 à 20:07

Dans le même genre, pour tous n\geqslant p entiers tels que n\geqslant 2p, on a aussi n-p\geqslant p et donc

|u_n-u_p| = u_n-u_p= \sum_{k=1}^{n-p} \frac{1}{p+k} = \dfrac1p \sum_{k=1}^{n-p} \frac{1}{1+k/p} = \dfrac1p \sum_{k=1}^{p} \frac{1}{1+k/p} + \dfrac1p \sum_{k=p+1}^{n-p} \frac{1}{1+k/p} > \dfrac1p \sum_{k=1}^{p} \frac{1}{1+k/p} (le deuxième terme est strictement positif) qui tend (somme de Riemann) vers \int_0^1 \frac{1}{1+x}dx = \ln(2) > 0 lorsque p\to\infty donc la suite n'a aucune chance d'être de Cauchy

Posté par
Ulmierere : Suites Numériques 26-03-21 à 20:09

Petite erreur : le second terme n'est pas strictement positif, seulement positif au sens large. Mais ça ne change rien, vu que  la limite du premier est, elle, strictement positive


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !